ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(a\), а угол между нею и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите объём усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Дано: образующая усечённого конуса \(a\), угол между образующей и плоскостью большого основания \(\alpha\). В осевом сечении (равнобедренная трапеция) диагонали перпендикулярны.

1) Высота усечённого конуса: \(h=a\sin\alpha\). Полудлины оснований трапеции обозначим \(d_1,d_2\). Условие перпендикулярности диагоналей трапеции даёт длину средней линии (радиус средней окружности): \(OO_1=\frac{d_1\cdot B_1+d_2\cdot B_2}{2}\Rightarrow R_1R_2\) и далее \(S_1=\pi R_1^2,\ S_2=\pi R_2^2\).

2) Объём усечённого конуса: \(V=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)\).

3) С учётом перпендикулярности диагоналей осевого сечения получаем соотношение радиусов и, подставляя \(h=a\sin\alpha\), приходим к итоговой формуле:
\(V=\frac{1}{12}\pi a^3\sin\alpha\,(2-\cos2\alpha)\).

1) В осевом сечении усечённого конуса получаем равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной образующей \(a\), и углом между этой стороной и основанием \(\alpha\). Из прямоугольного треугольника, образованного высотой и проекцией образующей на плоскость основания, находим высоту усечённого конуса: \(h=a\sin\alpha\). Горизонтальная проекция образующей на плоскость основания равна \(a\cos\alpha\) и является половиной разности диаметров осевого сечения, следовательно разность радиусов оснований равна \(R_1-R_2=a\cos\alpha\).

2) Для объёма усечённого конуса используем стандартную формулу через площади оснований: \(V=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)\), где \(S_1=\pi R_1^{2}\), \(S_2=\pi R_2^{2}\). При перпендикулярности диагоналей осевого сечения равнобедренной трапеции выполняется соотношение между основаниями и высотой: если полусумма оснований равна \(m\), а полурасстояние между ними равно \(a\cos\alpha\), то из условия взаимной перпендикулярности диагоналей следует \(h^{2}=2m^{2}-(a\cos\alpha)^{2}\). Перенося это в радиусы усечённого конуса, получаем \(R_1+R_2=\sqrt{\frac{h^{2}+(a\cos\alpha)^{2}}{2}}\). Учитывая уже найденную разность \(R_1-R_2=a\cos\alpha\) и подставляя \(h=a\sin\alpha\), отсюда выводим \(R_1+R_2=\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}= \frac{a}{\sqrt{2}}\). Тогда выражения \(R_1\) и \(R_2\) определяются как \(R_1=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}+a\cos\alpha\right)\), \(R_2=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-a\cos\alpha\right)\), а произведение радиусов равно \(R_1R_2=\frac{1}{4}\left(\frac{a^{2}}{2}-a^{2}\cos^{2}\alpha\right)=\frac{a^{2}}{4}\left(\frac{1}{2}-\cos^{2}\alpha\right)\).

3) Подставляя \(h=a\sin\alpha\), \(S_1+S_2=\pi\left(R_1^{2}+R_2^{2}\right)=\pi\left((R_1+R_2)^{2}-2R_1R_2\right)\) и \(\sqrt{S_1S_2}=\pi R_1R_2\) в формулу объёма, получаем \(V=\frac{a\sin\alpha}{3}\pi\left((R_1+R_2)^{2}-R_1R_2\right)\). С учётом найденных сумм и произведения радиусов это даёт \(V=\frac{a\sin\alpha}{3}\pi\left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}\left(\frac{1}{2}-\cos^{2}\alpha\right)\right)=\frac{\pi a^{3}\sin\alpha}{12}\left(2-\cos2\alpha\right)\). Ответ: \(V=\frac{1}{12}\pi a^{3}\sin\alpha\left(2-\cos2\alpha\right)\).