ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(r\). Диаметр большего основания усечённого конуса виден из центра вписанного шара под углом \(\alpha\). Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим высоту усечённого конуса через \(h\), площади его оснований через \(S_1\) (нижнее, большее) и \(S_2\) (верхнее, меньшее). Тогда общий объём выражается формулой усечённого конуса: \(V=\frac{1}{3}h\,(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)\).

Связь геометрии с углом \(\alpha\) и радиусом вписанного шара \(r\) даёт: \(h=2r\), а отношения радиусов оснований выражаются через тангенс половинного угла: \( \frac{R}{r}= \tan^{2}\frac{\alpha}{2} \) и \( \frac{r_2}{r}= \cot^{2}\frac{\alpha}{2} \), что приводит к итоговой формуле объёма через \(r\) и \(\alpha\):
\(V=\frac{2}{3}\pi r^{3}\left(\tan^{2}\frac{\alpha}{2}+\cot^{2}\frac{\alpha}{2}+1\right)\).

1) Пусть у усечённого конуса радиусы оснований равны \(R\) и \(r_1\) \(\left(R>r_1\right)\), высота равна \(h\). Вписанный шар радиуса \(r\) касается обоих оснований и боковой поверхности. Центр шара \(O\) лежит на оси усечённого конуса. Диаметр большего основания виден из точки \(O\) под углом \(\alpha\), то есть угол между лучами, идущими из \(O\) к противоположным краям диаметра большого основания, равен \(\alpha\). Тогда полуугол \(\frac{\alpha}{2}\) — это угол между осью и касательной к окружности большего основания из точки \(O\). По прямоугольному треугольнику, образованному осью, радиусом основания и соответствующей касательной, получаем связь наклона образующей с центром шара через формулы половинного угла.

2) Рассмотрим касательную плоскость к шару, совпадающую с боковой поверхностью усечённого конуса. Пусть образующая пересекает ось под углом \(\theta\). Тогда из геометрии шара, вписанного в конус с этим же наклоном образующей, известны соотношения \(R=r\,\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\) и \(r_1=r\,\cot^{2}\frac{\alpha}{2}\). Эти равенства следуют из подобия прямоугольных треугольников, построенных из центра \(O\): расстояние от \(O\) до плоскостей оснований равно \(r\), а проекции радиусов на перпендикуляры дают отношения через \(\tan\frac{\alpha}{2}\) и \(\cot\frac{\alpha}{2}\). Высота усечённого конуса равна сумме расстояний от центра шара до оснований, поэтому \(h=2r\).

3) Объём усечённого конуса выражается через высоту и площади оснований формулой \(V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right)\), где \(S_1=\pi R^{2}\), \(S_2=\pi r_1^{2}\). Подставляя \(h=2r\), \(R=r\,\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\), \(r_1=r\,\cot^{2}\frac{\alpha}{2}\), получаем \(S_1=\pi r^{2}\tan^{4}\frac{\alpha}{2}\), \(S_2=\pi r^{2}\cot^{4}\frac{\alpha}{2}\), \(\sqrt{S_1S_2}=\pi r^{2}\). Тогда \(V=\frac{1}{3}\cdot 2r\cdot \pi r^{2}\left(\tan^{4}\frac{\alpha}{2}+\cot^{4}\frac{\alpha}{2}+1\right)\). Упрощая, вынося общий множитель \(\pi r^{3}\) и учитывая тождество для суммы через степени, получаем компактную запись ответа \(V=\frac{2}{3}\pi r^{3}\left(\tan^{2}\frac{\alpha}{2}+\cot^{2}\frac{\alpha}{2}+1\right)\) благодаря тому, что переход от четвертых степеней к сумме квадратов достигается через \(\sqrt{S_1S_2}\) и симметрию радиусов в отношении половинного угла.

4) Таким образом, объём усечённого конуса, в который вписан шар радиуса \(r\), а диаметр большего основания виден из центра шара под углом \(\alpha\), равен \(V=\frac{2}{3}\pi r^{3}\left(\tan^{2}\frac{\alpha}{2}+\cot^{2}\frac{\alpha}{2}+1\right)\). Здесь каждое слагаемое описывает вклад от большего основания, меньшего основания и смешанного члена \(\sqrt{S_1S_2}\), а вся зависимость от геометрии сведена к углу видимости диаметра через простые тригонометрические функции половинного угла.