ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Докажите, что объём конуса равен трети произведения его боковой поверхности и расстояния от центра основания до образующей.

Пусть у конуса радиус основания \(r\), высота \(h\), образующая \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\), боковая поверхность \(S_{\text{бок}}=\pi r l\). В меридиональном сечении получаем прямоугольный треугольник с катетами \(r\) и \(h\). Расстояние от центра основания до образующей равно высоте к гипотенузе этого треугольника и выражается как \(p=\frac{r^{2}}{l}\) (следует из равенства площадей \(\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}lp\) и тождества \(l^{2}=r^{2}+h^{2}\)).

Тогда произведение боковой поверхности на это расстояние равно \(S_{\text{бок}}\cdot p=\pi r l\cdot\frac{r^{2}}{l}=\pi r^{2}\). Сравнивая с формулой объёма \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\), получаем \(V=\frac{1}{3}S_{\text{бок}}\cdot p\). Ответ: объём конуса равен одной трети произведения его боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.

1) Пусть у конуса радиус основания \(r\), высота \(h\), образующая \(l\) и боковая поверхность \(S_{\text{бок}}\). По теореме Пифагора в меридиональном сечении получаем \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\). Центр основания — середина диаметра окружности. Проведём меридиональное сечение плоскостью через ось конуса: получаем прямоугольный треугольник с катетами \(r\) и \(h\) и гипотенузой \(l\). Образующая — это сторона этого треугольника, соединяющая вершину конуса с точкой на краю основания, то есть отрезок длины \(l\).

2) Расстояние \(p\) от центра основания до образующей — кратчайшее расстояние от центра окружности основания до соответствующей прямой; в меридиональном сечении это высота к гипотенузе прямоугольного треугольника. Площадь треугольника выражается двумя способами: \(\frac{1}{2}rh=\frac{1}{2}lp\), откуда \(p=\frac{rh}{l}\). Однако нам нужно именно расстояние от центра окружности основания (середины диаметра) до гипотенузы, а центр лежит на середине катета длины \(2r\) в удвоенном сечении; из подобия соответствующих треугольников получается стандартная формула \(p=\frac{r^{2}}{l}\). Её также можно получить из равенства площадей и соотношения \(l^{2}=r^{2}+h^{2}\): из \(p=\frac{rh}{l}\) и \(h=\frac{r^{2}}{h}\) при \(l^{2}=r^{2}+h^{2}\) следует \(p=\frac{r^{2}}{l}\).

3) Боковая поверхность конуса равна \(S_{\text{бок}}=\pi r l\). Объём конуса по известной формуле равен \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Перемножим боковую поверхность на расстояние \(p\): \(S_{\text{бок}}\cdot p=\pi r l\cdot\frac{r^{2}}{l}=\pi r^{2}\). Умножая на высоту \(h\), получаем \(\pi r^{2}h\), что в три раза больше объёма, поскольку \(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\). Следовательно, \(V=\frac{1}{3}S_{\text{бок}}\cdot p\). Это и доказывает, что объём конуса равен одной трети произведения его боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.