ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера с центром в вершине конуса делит конус на две равновеликие части. Найдите объём шара, ограниченного этой сферой, если радиус основания конуса равен \(r\) и угол при вершине его осевого сечения равен \(\alpha\).

Объём конуса равен \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( h = r \cot \frac{\alpha}{2} \). Значит \( V = \frac{1}{3} \pi r^3 \cot \frac{\alpha}{2} \).

Сфера делит конус на две равные части, значит объём сферы \( V_\text{ш} = \frac{1}{2} V = \frac{\pi r^3 \cot \frac{\alpha}{2}}{6} \).

Радиус сферы выражается через угол: \( R = r \sin \frac{\alpha}{2} \).

Объём сферы с радиусом \( R \) равен \( V_\text{ш} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Приравнивая объёмы, получаем формулу для объёма сферы:

\( V_\text{ш} = \frac{\pi r^3 \cot \frac{\alpha}{2}}{6 \sin^2 \frac{\alpha}{4}} \).

Объём конуса вычисляется по формуле ( V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h ), где ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота конуса. В данном случае высота связана с радиусом и углом при вершине конуса ( \alpha ) через соотношение ( h = r \cot \frac{\alpha}{2} ). Это связано с тем, что если провести высоту конуса, она образует прямоугольный треугольник с радиусом основания и образующей конуса, а угол при вершине делится пополам. Подставляя высоту, получаем выражение для объёма конуса: ( V = \frac{1}{3} \pi r^{3} \cot \frac{\alpha}{2} ).
Далее рассматривается сфера, которая проходит через вершину конуса и делит его на две равные части по объёму. Это означает, что объём сферы равен половине объёма конуса, то есть ( V_\text{ш} = \frac{1}{2} V = \frac{\pi r^{3} \cot \frac{\alpha}{2}}{6} ). Радиус сферы ( R ) связан с радиусом основания конуса и углом при вершине: ( R = r \sin \frac{\alpha}{2} ). Это следует из геометрии расположения сферы внутри конуса, где радиус сферы определяется расстоянием от центра сферы до основания, учитывая угол раскрытия конуса.
Объём сферы выражается формулой ( V_\text{ш} = \frac{4}{3} \pi R^{3} ). Подставляя в неё радиус ( R = r \sin \frac{\alpha}{2} ), получаем ( V_\text{ш} = \frac{4}{3} \pi (r \sin \frac{\alpha}{2})^{3} ). Приравнивая этот объём к половине объёма конуса, записываем уравнение ( \frac{4}{3} \pi (r \sin \frac{\alpha}{2})^{3} = \frac{\pi r^{3} \cot \frac{\alpha}{2}}{6} ). Упрощая, выражаем объём сферы через исходные параметры конуса, что приводит к формуле ( V_\text{ш} = \frac{\pi r^{3} \cot \frac{\alpha}{2}}{6 \sin^{2} \frac{\alpha}{4}} ).