ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В конус вписан шар радиуса \(r\). Угол при вершине осевого сечения конуса равен \(\alpha\). Найдите объём части конуса, расположенной над шаром.

Для конуса с углом осевого сечения \( \alpha \) и вписанным шаром радиуса \( r \) высота вершины над центром шара равна \(r\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\). Объём срезанного сверху “колпачка” равен объёму конуса с этой высотой минус объём сферического сегмента.

Итоговый объём части конуса над шаром:
\( \frac{\pi r^{3}}{3}\!\left(\frac{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}-\!\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\!\left(2+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\right). \)

Пусть у конуса угол при вершине осевого сечения равен \(\alpha\), а внутри него вписан шар радиуса \(r\). Ось конуса проходит через центр шара; расстояние от центра шара до вершины конуса выражается через геометрию образующей и половинного угла. Для правого треугольника осевого сечения радиус вписанного шара в конус связан с высотой участка над центром: верхняя часть конуса над шаром имеет собственную высоту \(h=\!r\frac{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\). Это получается из подобия треугольников: отношение радиуса поперечного сечения к высоте для конуса равно \(\tan\frac{\alpha}{2}\), а касательная сферы к образующей даёт вертикальный зазор \(r\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\) по направлению оси, что после деления на синус половинного угла даёт указанную \(h\).

Объём части конуса над шаром состоит из объёма «верхнего конуса» высоты \(h\) минус объём сферического сегмента, вырезанного плоскостью на уровне касания. Радиус окружности сечения конуса на высоте \(h\) равен \(R=h\tan\frac{\alpha}{2}=r\frac{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\tan\frac{\alpha}{2}=r\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\). Тогда объём соответствующего конуса равен \(V_{c}=\frac{\pi R^{2}h}{3}=\frac{\pi r^{3}}{3}\frac{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\). Объём сферического сегмента высоты \(r(1-\sin\frac{\alpha}{2})\) у сферы радиуса \(r\) равен \(V_{s}=\pi r^{3}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\left(2+\sin\frac{\alpha}{2}\right)/3\), что следует из стандартной формулы сегмента через высоту \(h_{s}\) и радиус \(r\): \(V_{s}=\pi h_{s}^{2}\left(r-\frac{h_{s}}{3}\right)\), где \(h_{s}=r\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)\).

Тогда искомый объём части конуса, расположенной над шаром, равен разности \(V=V_{c}-V_{s}\). Подставляя найденные выражения, получаем окончательно \(V=\frac{\pi r^{3}}{3}\left(\frac{\cos^{4}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}-\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}\left(2+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\right)\). Здесь первое слагаемое отражает вклад геометрии конуса через подобие сечений и связь \(R=h\tan\frac{\alpha}{2}\), а второе корректирует результат на вырезанный сферический сегмент, зависящий от положения плоскости касания, то есть от \(\sin\frac{\alpha}{2}\). Эта формула полностью выражает искомый объём через параметры \(r\) и \(\alpha\).