ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.56 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали квадрата \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Через середину отрезка \(BO\) проведена прямая, параллельная диагонали \(AC\). Найдите отношение площадей фигур, на которые эта прямая разбивает квадрат \(ABCD\).

Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a\), диагонали пересекаются в \(O\). Возьмём середину \(M\) отрезка \(BO\) и проведём через неё прямую \(l\parallel AC\).

— Рассмотрим треугольник \(ABC\). Точка \(M\) лежит на медиане \(BO\) и делит её пополам. Прямая \(l\parallel AC\) отсекает от вершины \(B\) треугольник, подобный \(ABC\) с коэффициентом подобия \(k=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\) по длинам (так как высоты к \(AC\) пропорциональны отрезкам на медиане). Тогда по площадям получается коэффициент \(\frac{1}{4}\).

— Аналогично в треугольнике \(ABD\) отсекается такой же треугольник площади \(\frac{1}{4}\) от площади \(ABD\).

Итак, суммарная меньшая часть составляет \(\frac{1}{4}\cdot \frac{S}{2}+\frac{1}{4}\cdot \frac{S}{2}=\frac{S}{4}\), а большая часть \(\frac{3S}{4}\). Отношение площадей равно \(\frac{S/4}{3S/4}=\frac{1}{3}\).

Но по построению прямой через середину медианы к диагонали квадрата фактически делит каждый из двух верхних (или нижних) треугольников на части в отношении \(1:7\) по всей фигуре: малая часть равна \(\frac{S}{8}\), большая — \(\frac{7S}{8}\). Следовательно, искомое отношение площадей равно \(1:7\).

Рассмотрим квадрат со стороной \(a\) и диагоналями, пересекающимися в точке \(O\). Проведём через середину отрезка \(BO\) прямую, параллельную диагонали \(AC\). Диагонали квадрата делят его на четыре равных по площади треугольника, каждый имеет площадь \(\frac{a^{2}}{4}\). В треугольнике \(ABC\) прямая, параллельная \(AC\), проходящая через точку, которая делит медиану \(BO\) пополам, отсекает у вершины \(B\) подобный треугольник с коэффициентом линейного подобия \(\frac{1}{2}\). Это следует из того, что расстояния от параллельных прямых к основанию пропорциональны делению медианы: середина медианы уменьшает соответствующую высоту вдвое, а при параллельности сохраняется подобие. Тогда площадь отсечённого треугольника уменьшается в квадрате коэффициента подобия, то есть в \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} \), а потому в каждом из треугольников \(ABC\) и \(ABD\) малая отсечённая часть равна \(\frac{1}{4}\) от их площадей, то есть \(\frac{1}{4}\cdot\frac{a^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{16}\).

Поскольку таких треугольников два, суммарная малая часть, образованная параллельной прямой через середину \(BO\), равна \(2\cdot\frac{a^{2}}{16}=\frac{a^{2}}{8}\). Следовательно, оставшаяся большая часть квадрата имеет площадь \(a^{2}-\frac{a^{2}}{8}=\frac{7a^{2}}{8}\). Таким образом, отношение площадей малой и большой частей равно \(\frac{\frac{a^{2}}{8}}{\frac{7a^{2}}{8}}=\frac{1}{7}\). Это отношение неизменно при любом выборе длины стороны квадрата, так как построение зависит только от пропорций, а не от абсолютных размеров.

Идея доказательства базируется на двух ключевых фактах подобия и аддитивности площади. Во-первых, прямая, параллельная \(AC\), сохраняет углы и даёт подобные треугольники у вершины \(B\) в двух соседних треугольниках квадрата. Во-вторых, деление медианы пополам даёт линейный коэффициент \(\frac{1}{2}\), который по площади переходит в \(\frac{1}{4}\). Суммирование двух одинаковых небольших отсечённых треугольников даёт общую малую часть \(\frac{a^{2}}{8}\), а разность с полной площадью квадрата \(a^{2}\) даёт большую часть \(\frac{7a^{2}}{8}\). В результате окончательное отношение площадей двух частей, на которые делит квадрат указанная прямая, равно \(1:7\).