ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.57 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего ему острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см равна \( \sqrt{5^2+12^2}=13 \) см.

Пусть окружность касается большего катета (12 см) в точке \(K\), центр \(O\) лежит на гипотенузе, а окружность проходит через вершину \(A\), противоположную большему катету. Тогда треугольники \(AOK\) и \(ACB\) подобны, откуда \( \frac{r}{5}=\frac{13-r}{13} \).

Решая, получаем \(13r=65-5r\), \(18r=65\), \( r=\frac{65}{18}\) см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна \(c=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25+144}=13\) см. Окружность с центром на гипотенузе касается большего катета (12 см) и проходит через вершину острого угла, противолежащую этому катету. Обозначим радиус окружности через \(r\), точку касания с большим катетом через \(K\), а центр окружности через \(O\).

2. Радиус, проведенный к точке касания \(K\), перпендикулярен большему катету, поэтому \(OK\perp CB\). Из геометрии подобные прямые углы в треугольнике \(AOK\) и исходном треугольнике \(ACB\) позволяют установить подобие: угол при \(A\) общий с дугой окружности через \(A\), а угол при \(K\) прямой, как и угол при \(C\) в исходном треугольнике. Следовательно, треугольники \(AOK\) и \(ACB\) подобны. В этих треугольниках стороне \(AO\) соответствует гипотенуза \(AB=13\), стороне \(OK=r\) соответствует катет \(AC=5\), а стороне \(AK\) соответствует катет \(CB=12\). При этом \(AO=AB-r=13-r\), так как радиус, опущенный из центра на гипотенузу, отсекает от гипотенузы отрезок длиной \(r\) до точки касания перпендикуляра. Тогда по коэффициенту подобия получаем отношение \( \frac{r}{5}=\frac{13-r}{13} \).

3. Решим пропорцию: \(13r=65-5r\), \(18r=65\), откуда \(r=\frac{65}{18}\) см. Это значение согласуется с условиями: \(r<13\) и \(r\) действительно даёт прохождение окружности через вершину треугольника и касание большего катета. Ответ: \(r=\frac{65}{18}\) см.