ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из углов — \(60^\circ\). Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к данному углу.

Гипотенуза треугольника \(AD = 10\) см, угол \(60^\circ\).

Вычисляем катеты:
\(\sin 60^\circ = \frac{BC}{10} \Rightarrow BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см.

\(\cos 60^\circ = \frac{CE}{10} \Rightarrow CE = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см.

Объём тела вращения вокруг катета \(CE\) (конус):
\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 125 \pi\) см³.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой \(AD = 10\) см и углом при вершине \(60^\circ\). Нужно найти объём тела, которое получается при вращении этого треугольника вокруг катета, прилежащего к углу \(60^\circ\). Для начала определим длины катетов треугольника, так как они понадобятся для вычисления объёма.

Используем тригонометрические соотношения. Синус угла \(60^\circ\) равен отношению противолежащего катета \(BC\) к гипотенузе \(AD\). Запишем это как \(\sin 60^\circ = \frac{BC}{10}\). Значение \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см. Аналогично, косинус угла \(60^\circ\) равен отношению прилежащего катета \(CE\) к гипотенузе: \(\cos 60^\circ = \frac{CE}{10}\). Значение \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), значит \(CE = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) см.

Теперь, когда известны длины катетов, найдём объём тела вращения. Треугольник вращается вокруг катета \(CE\), поэтому образуется конус с высотой \(h = CE = 5\) см и радиусом основания \(r = BC = 5\sqrt{3}\) см. Формула объёма конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). Подставим значения: \(V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 125 \pi\) см³. Таким образом, объём тела вращения равен \(125 \pi\) кубических сантиметров.