ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 5 см. Найдите объём тела, полученного в результате вращения этого треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

Найдем второй катет \( CB \) по теореме Пифагора:

\( CB = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \).

Объем тела вращения вокруг катета равен объему конуса с радиусом основания \( CB = 12 \) и высотой \( h = 5 \):

\( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240 \pi \, \text{см}^3 \).

Дано прямоугольный треугольник с гипотенузой \( 13 \) см и одним из катетов \( 5 \) см. Для нахождения объема тела, образованного вращением этого треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет, сначала нужно определить длину второго катета. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Подставляя известные значения, получаем \( 5^2 + BC^2 = 13^2 \).

Вычисляем \( BC^2 = 13^2 — 5^2 = 169 — 25 = 144 \). Отсюда \( BC = \sqrt{144} = 12 \) см. Теперь у нас есть все размеры треугольника: катеты 5 см и 12 см, гипотенуза 13 см. При вращении треугольника вокруг прямой, содержащей катет длиной 5 см, образуется тело вращения, которое по форме является конусом. Высота конуса равна длине катета, вокруг которого происходит вращение, то есть \( h = 5 \) см, а радиус основания равен длине второго катета, то есть \( r = 12 \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Подставляем значения: \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240 \pi \) кубических сантиметров. Таким образом, объем тела вращения равен \( 240 \pi \) см³.