ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 8 см и 14 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания равен \(45^\circ\).

Дано радиусы оснований усеченного конуса \(r_1 = 8\), \(r_2 = 14\) и угол между образующей и плоскостью большего основания \(45^\circ\).

Высота \(h\) находится из соотношения \(\tan 45^\circ = \frac{h}{r_2 — r_1}\), значит \(h = 14 — 8 = 6\).

Объём усеченного конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\).

Подставляем значения: \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 (64 + 112 + 196) = 2 \pi \cdot 372 = 744 \pi\).

Ответ: \(744 \pi\).

Радиусы оснований усеченного конуса равны \(r_1 = 8\) см и \(r_2 = 14\) см. Угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(45^\circ\). Для вычисления объёма усеченного конуса необходимо найти его высоту \(h\). Высота — это перпендикуляр от меньшего основания к большему, то есть расстояние между плоскостями оснований.

Угол между образующей и плоскостью большего основания равен \(45^\circ\), значит образующая, высота и разница радиусов образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике катеты — это высота \(h\) и разница радиусов \(r_2 — r_1 = 14 — 8 = 6\) см. По определению тангенса угла имеем \(\tan 45^\circ = \frac{h}{r_2 — r_1}\). Так как \(\tan 45^\circ = 1\), то из равенства следует \(h = 6\) см.

Объём усеченного конуса вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)\). Подставляем найденные значения: \(h = 6\), \(r_1^2 = 8^2 = 64\), \(r_1 r_2 = 8 \cdot 14 = 112\), \(r_2^2 = 14^2 = 196\). Суммируем: \(64 + 112 + 196 = 372\). Тогда объём равен \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot 372 = 2 \pi \cdot 372 = 744 \pi\).

Ответ: \(744 \pi\) кубических сантиметров.