ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 20.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 3 см, а образующая равна \(2\sqrt{5}\) см.

Найдём высоту усечённого конуса по образующей: по теореме Пифагора \(l^{2}=h^{2}+(R-r)^{2}\). При \(R=3\), \(r=1\), \(l=2\sqrt{5}\) получаем \(h^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(3-1)^{2}=20-4=16\), значит \(h=4\).

Объём усечённого конуса: \(V=\frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)=\frac{\pi\cdot 4}{3}\left(9+3+1\right)=\frac{4\pi}{3}\cdot 13=\frac{52\pi}{3}\\{см}^{3}\).

Сначала восстановим геометрию задачи и найдём высоту усечённого конуса. Образующая \(l\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет — высота усечённого конуса \(h\), а другой катет — разность радиусов оснований \(R-r\). Это следует из того, что при образовании усечённого конуса из полного конуса срез плоскостью параллелен основанию, и боковая поверхность развёртывается в прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(R-r\), гипотенузой \(l\). Применяя теорему Пифагора, имеем связь \(l^{2}=h^{2}+(R-r)^{2}\). Подставляя данные \(R=3\), \(r=1\), \(l=2\sqrt{5}\), получаем \(h^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-(3-1)^{2}=20-4=16\), откуда \(h=4\). Знак высоты берём положительный, поскольку высота — длина.

Далее используем стандартную формулу объёма усечённого конуса через высоту и радиусы оснований: \(V=\frac{\pi h}{3}\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right)\). Эта формула получается, например, из вычитания объёма малого конуса из большого: если к усечённому конусу «достроить» верхнюю часть до полного конуса, то объём полного конуса равен \(V_{\text{бол}}=\frac{\pi H R^{2}}{3}\), объём срезанного малого конуса равен \(V_{\text{мал}}=\frac{\pi (H-h) r^{2}}{3}\), а из подобия конусов \(\frac{R}{H}=\frac{r}{H-h}\) выводится, что разность этих объёмов сводится к указанной компактной формуле. Тем самым она корректна для любых \(R>r>0\) и \(h>0\).

Подставим найденную высоту и заданные радиусы в формулу объёма: \(V=\frac{\pi\cdot 4}{3}\left(3^{2}+3\cdot 1+1^{2}\right)=\frac{4\pi}{3}\left(9+3+1\right)=\frac{4\pi}{3}\cdot 13=\frac{52\pi}{3}\). Единицы измерения наследуются от входных величин: радиусы и высота в сантиметрах, значит объём в кубических сантиметрах. Окончательный ответ: \(V=\frac{52\pi}{3}\ \text{см}^{3}\).