ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Объёмы двух шаров относятся как 27 : 125. Как относятся площади их поверхностей?

Отношение объёмов шаров: \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125} \). Для шаров \(V \sim r^3\), значит \( \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{27}{125} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} \).

Площадь поверхности шара \(S \sim r^2\), поэтому \( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \).

Пусть два шара имеют радиусы \(r_1\) и \(r_2\), объёмы \(V_1\) и \(V_2\), а площади поверхностей \(S_1\) и \(S_2\). Из условия дано отношение объёмов \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125} \). Для шара объём выражается через радиус формулой \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \), следовательно, отношение объёмов равно кубу отношения радиусов: \( \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \). Приравнивая к данному числу, получаем \( \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{27}{125} \).

Так как числа \(27\) и \(125\) являются кубами \(3^3\) и \(5^3\) соответственно, то из равенства кубов следует равенство оснований: \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} \). Это ключевой шаг: мы нашли, как соотносятся радиусы двух шаров по известному отношению их объёмов. Переход от кубического отношения к линейному основан на обратимости операции возведения в третью степень для положительных чисел: если \(a^3 = b^3\), то \(a = b\).

Площадь поверхности шара связана с радиусом формулой \( S = 4\pi r^2 \). Следовательно, отношение площадей поверхностей двух шаров равно квадрату отношения их радиусов: \( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \). Подставляя найденное отношение радиусов \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5} \), получаем \( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \). Ответ: площади поверхностей относятся как \( \frac{9}{25} \).