ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный куб, к площади сферы, описанной около куба.

Вписанная сфера в кубе имеет радиус \(r_{\text{вн}}=\frac{a}{2}\), описанная — \(r_{\text{ок}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\).

Площадь сферы \(S=4\pi r^{2}\). Тогда отношение площадей:
\(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{ок}}}=\frac{4\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}{4\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^{2}}=\frac{a^{2}/4}{3a^{2}/4}=\frac{1}{3}\).

1) Рассмотрим куб со стороной \(a\). Вписанная сфера касается всех граней куба изнутри, её центр совпадает с центром куба. Расстояние от центра до любой грани равно половине длины ребра, поэтому радиус вписанной сферы равен \(r_{\text{вн}}=\frac{a}{2}\). Описанная сфера проходит через все вершины куба. Диагональ куба соединяет две противоположные вершины и равна \(a\sqrt{3}\). Радиус описанной сферы — половина диагонали, следовательно \(r_{\text{ок}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

2) Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \(S=4\pi r^{2}\). Тогда площадь вписанной сферы равна \(S_{\text{вн}}=4\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=4\pi\cdot\frac{a^{2}}{4}=\pi a^{2}\). Площадь описанной сферы равна \(S_{\text{ок}}=4\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=4\pi\cdot\frac{3a^{2}}{4}=3\pi a^{2}\). Видно, что множитель \(4\pi\) в обоих случаях одинаков, а различие определяется квадратами радиусов: у вписанной сферы \(r^{2}=\frac{a^{2}}{4}\), у описанной сферы \(r^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\).

3) Найдём отношение площадей, сократив общие множители. Имеем \(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{ок}}}=\frac{4\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}{4\pi\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{4}{3a^{2}}=\frac{1}{3}\). Таким образом, площадь поверхности сферы, вписанной в куб, в три раза меньше площади поверхности сферы, описанной около того же куба, то есть искомое отношение равно \(\frac{1}{3}\).