ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 6 см.

Диагональ параллелепипеда: \(d=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=7\) см, диаметр описанной сферы равен диагонали, значит радиус \(R=\frac{7}{2}\) см.

Площадь сферы: \(S=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{7}{2}\right)^2=4\pi\cdot\frac{49}{4}=49\pi\) см\(^2\).

1) Пусть прямоугольный параллелепипед имеет ребра длиной \(a=2\) см, \(b=3\) см и \(c=6\) см. Диагональ такого параллелепипеда соединяет противоположные вершины и вычисляется по теореме Пифагора в пространстве: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\). Подставляя числа, получаем \(d=\sqrt{2^{2}+3^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\) см. Эта диагональ является диаметром описанной вокруг параллелепипеда сферы, потому что сфера должна проходить через все вершины, а самая дальняя пара точек задаёт диаметр.

2) Так как диаметр сферы равен длине пространственной диагонали параллелепипеда, радиус равен половине диаметра: \(R=\frac{d}{2}=\frac{7}{2}\) см. Уточним: центр сферы совпадает с центром параллелепипеда, а все вершины лежат на одинаковом расстоянии от центра, равном радиусу. Поэтому именно \(R=\frac{7}{2}\) см является нужным значением для вычисления площади сферы.

3) Площадь поверхности сферы выражается формулой \(S=4\pi R^{2}\). Подставляя найденный радиус, имеем \(S=4\pi\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=4\pi\cdot\frac{49}{4}=49\pi\) см\(^{2}\). Таким образом, итоговая площадь сферы, описанной около данного прямоугольного параллелепипеда, равна \(49\pi\) см\(^{2}\), что соответствует вычислениям на изображении.