ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевым сечением цилиндра является квадрат. Площадь полной поверхности цилиндра равна \(S\). Найдите площадь сферы, описанной около данного цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной \(2r\), значит высота \(h=2r\).

Площадь полной поверхности цилиндра: \(S=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+4\pi r^{2}=6\pi r^{2}\), откуда \(r^{2}=\frac{S}{6\pi}\).

Сфера, описанная около цилиндра, имеет диаметр равный диагонали квадрата \(2r\sqrt{2}\), значит радиус сферы \(R=r\sqrt{2}\) и \(R^{2}=2r^{2}=\frac{2S}{6\pi}=\frac{S}{3\pi}\).

Площадь поверхности сферы: \(S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}=4\pi\cdot\frac{S}{3\pi}=\frac{4S}{3}\).

1. Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\), а высота \(h\). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, образованный высотой и диаметром основания; по условию это квадрат, значит его сторона равна диаметру \(2r\), откуда \(h=2r\). Полная поверхность цилиндра состоит из двух кругов и боковой поверхности. Тогда точная формула: \(S=2\pi r^{2}+2\pi r h\). Подставляя связь \(h=2r\), получаем \(S=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot 2r=2\pi r^{2}+4\pi r^{2}=6\pi r^{2}\). Отсюда выражаем радиус через заданную площадь: \(r^{2}=\frac{S}{6\pi}\).

2. Сфера, описанная около цилиндра, должна касаться цилиндра по боковой поверхности и по верхнему и нижнему основаниям, поэтому её центр совпадает с центром цилиндра, а диаметр сферы равен диагонали осевого квадрата. Диагональ квадрата со стороной \(2r\) равна \(2r\sqrt{2}\), следовательно радиус сферы \(R\) равен половине диагонали: \(R=\frac{2r\sqrt{2}}{2}=r\sqrt{2}\). Тогда \(R^{2}=2r^{2}\). С учётом найденного выше выражения для \(r^{2}\) получаем \(R^{2}=2\cdot\frac{S}{6\pi}=\frac{S}{3\pi}\). Эта связь напрямую выражает радиус описанной сферы через площадь полной поверхности цилиндра.

3. Площадь поверхности сферы равна \(S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}\). Подставляя \(R^{2}=\frac{S}{3\pi}\), имеем \(S_{\text{сф}}=4\pi\cdot\frac{S}{3\pi}=\frac{4S}{3}\). Таким образом, итоговая формула связывает заданную площадь полной поверхности цилиндра с искомой площадью сферы: \(S_{\text{сф}}=\frac{4S}{3}\).