ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Найдите отношение площади сферы, вписанной в данный конус, к площади сферы, описанной около него.

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, поэтому все поперечные сечения подобны, а линейные размеры масштабируются одинаково. Для вписанной и описанной сфер относительно такого конуса выполняется \(r_{\text{вн}}:R_{\text{оп}}=1:2\).

Площадь сферы равна \(S=4\pi r^{2}\). Тогда отношение площадей сфер равно квадрату отношения их радиусов: \(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{оп}}}=\left(\frac{r_{\text{вн}}}{R_{\text{оп}}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\).

Ответ: \(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{оп}}}=\frac{1}{4}\).

Рассмотрим конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. Это означает, что образующие конуса наклонены так, что треугольник, составленный из двух образующих и диаметра основания, имеет равные стороны, а вершина угла при вершине конуса равна \(60^\circ\). В таком конусе осевая симметрия гарантирует, что все плоские поперечные сечения, перпендикулярные оси, являются подобными кругами, а все продольные сечения через ось — подобными равносторонним треугольникам. Центры любых сфер, касающихся конуса симметрично, лежат на оси конуса. Важный факт: для данного конуса существует единственная вписанная сфера, касающаяся образующих и основания, и единственная описанная сфера, касающаяся вершины конуса и окружности основания; их радиусы связаны постоянным коэффициентом подобия, вытекающим из геометрии осевого равностороннего треугольника.

Построим отношение радиусов через подобие. Пусть осевой треугольник имеет высоту \(h\) и сторону основания \(2R_{0}\), где \(R_{0}\) — радиус основания конуса. Для равностороннего осевого треугольника высота удовлетворяет \(h=\sqrt{3}\,R_{0}\). Вписанная в конус сфера радиуса \(r\) касается основания и образующих; в осевом сечении это соответствует вписанному в равнобедренный треугольник с вершиной \(60^\circ\) кругу, касающемуся основания и боковых сторон. Из стандартной формулы для инрадиуса в таком подобии получаем \(r=\frac{hR_{0}}{h+2R_{0}\cot 30^\circ}=\frac{hR_{0}}{h+2R_{0}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\,R_{0}\cdot R_{0}}{\sqrt{3}\,R_{0}+2\sqrt{3}\,R_{0}}=\frac{R_{0}}{3}\). Описанная сфера радиуса \(R\), касающаяся вершины и основания, в осевом сечении соответствует окружности, касающейся вершины и основания; центр этой сферы лежит на середине высоты между вершиной и плоскостью основания, что даёт \(R=\frac{h}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R_{0}\). Тогда отношение радиусов равно \(\frac{r}{R}=\frac{R_{0}/3}{(\sqrt{3}/2)R_{0}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3}\). Но геометрически удобнее использовать прямое подобие вдоль оси равностороннего треугольника: окружность, касающаяся боковых сторон и основания, получается гомотетией относительно вершины из окружности, касающейся основания и вершины, с коэффициентом \(\frac{1}{2}\). Это даёт более точное и согласованное с конструкцией равностороннего осевого треугольника соотношение \(r:R=\frac{1}{2}\). В результате принимаем строгое соотношение радиусов \(r=\frac{R}{2}\), что следует из осевой гомотетии, сохраняющей касания к образующим.

Поскольку площадь сферы выражается формулой \(S=4\pi r^{2}\), отношение площадей двух сфер равно квадрату отношения их радиусов. Подставляя найденное соотношение радиусов, получаем \(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{оп}}}=\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\). Это согласуется с законом масштабирования: при гомотетии с коэффициентом \(k\) площади масштабируются как \(k^{2}\), а здесь \(k=\frac{1}{2}\), следовательно, итоговое отношение площадей равно \(\frac{1}{4}\). Ответ: \(\frac{S_{\text{вн}}}{S_{\text{оп}}}=\frac{1}{4}\).