ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны \(S_1\) и \(S_2\).

Пусть диаметры меньших шаров равны катетам \(a\) и \(b\), а большего — гипотенузе \(c\). Тогда \(c^2=a^2+b^2\).

Площадь поверхности шара с диаметром \(d\): \(S=\pi d^2\). Значит \(S_1=\pi a^2\), \(S_2=\pi b^2\), а для большого шара \(S=\pi c^2=\pi(a^2+b^2)=S_1+S_2\).

Ответ: \(S=S_1+S_2\).

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, равными диаметрам двух меньших шаров: пусть их диаметры равны \(a\) и \(b\). Диаметр большего шара равен гипотенузе \(c\) этого треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется связь длин: \(c^2=a^2+b^2\). Это ключевой шаг: именно квадраты диаметров суммируются, а не сами диаметры, поскольку гипотенуза получается из геометрической суммы перпендикулярных отрезков.

2) Формула площади поверхности шара через диаметр: \(S=\pi d^2\). Тогда для меньших шаров: \(S_1=\pi a^2\) и \(S_2=\pi b^2\). Для большего шара площадь равна \(S=\pi c^2\). Подставляя из теоремы Пифагора выражение для \(c^2\), получаем: \(S=\pi c^2=\pi(a^2+b^2)\). Перенесём множитель \(\pi\) внутрь суммы, чтобы сопоставить с площадями меньших шаров: \(\pi a^2=S_1\) и \(\pi b^2=S_2\), следовательно \(S=\pi a^2+\pi b^2=S_1+S_2\).

3) Таким образом, площадь поверхности большего шара выражается через площади поверхностей меньших шаров простым сложением: \(S=S_1+S_2\). Здесь используется то, что площади масштабируются по квадрату линейной величины (диаметра), а теорема Пифагора даёт сумму квадратов диаметров. В результате связь получается линейной для площадей: искомая площадь большего шара равна сумме площадей двух меньших, то есть \(S=S_1+S_2\).