ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Один из углов треугольника равен \(120^\circ\). Стороны треугольника являются диаметрами трёх шаров. Найдите площадь поверхности большего шара, если площади поверхностей меньших равны \(S_1\) и \(S_2\).

Пусть стороны треугольника равны диаметрам шаров \(d_1,d_2,d_3\), угол между \(d_1\) и \(d_2\) равен \(120^\circ\). По теореме косинусов: \(d_3^{2}=d_1^{2}+d_2^{2}-2d_1d_2\cos 120^\circ=d_1^{2}+d_2^{2}+d_1d_2\).

Площадь поверхности шара через диаметр: \(S=\pi d^{2}\). Тогда \(S_3=\pi d_3^{2}=\pi(d_1^{2}+d_2^{2}+d_1d_2)=S_1+S_2+\pi d_1d_2\).

Так как \(d_1=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}\), \(d_2=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}\), то \(\pi d_1d_2=\pi\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}=\sqrt{S_1S_2}\). Ответ: \(S_{\text{больш.}}=S_3=S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\).

Рассмотрим треугольник, стороны которого равны диаметрам трех шаров \(d_1,d_2,d_3\), при этом угол между \(d_1\) и \(d_2\) равен \(120^\circ\). По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив данного угла, имеем соотношение \(d_3^{2}=d_1^{2}+d_2^{2}-2d_1d_2\cos 120^\circ\). Так как \(\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}\), то знак минус превращается в плюс, и получаем ключевое равенство для диаметров \(d_3^{2}=d_1^{2}+d_2^{2}+d_1d_2\). Это означает, что квадрат наибольшей стороны в таком треугольнике больше суммы квадратов двух других сторон на дополнительно возникающий смешанный член \(d_1d_2\), что характерно именно для тупого угла \(120^\circ\).

Переходим от диаметров к площадям поверхностей шаров. Площадь поверхности шара радиуса \(r\) равна \(S=4\pi r^{2}\). Если выразить радиус через диаметр как \(r=\frac{d}{2}\), то из формулы следует \(S=4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\pi d^{2}\). Следовательно, для каждого шара \(S_i=\pi d_i^{2}\), а значит \(d_i=\sqrt{\frac{S_i}{\pi}}\). Умножая равенство для диаметров на \(\pi\), получаем прямую связь между площадями: \(\pi d_3^{2}=\pi d_1^{2}+\pi d_2^{2}+\pi d_1d_2\), то есть \(S_3=S_1+S_2+\pi d_1d_2\). Здесь первые два слагаемых дают вклад от квадратов диаметров, а оставшийся смешанный член \(\pi d_1d_2\) необходимо выразить через известные площади \(S_1\) и \(S_2\), чтобы получить окончательную формулу в одних площадях.

Выражаем смешанный член через площади. Подставляя \(d_1=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}\) и \(d_2=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}\), имеем \(\pi d_1d_2=\pi\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}=\pi\sqrt{\frac{S_1S_2}{\pi^{2}}}=\sqrt{S_1S_2}\). Возвращаясь к формуле для \(S_3\), получаем \(S_3=S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\). Поскольку угол \(120^\circ\) тупой, напротив него лежит наибольшая сторона \(d_3\), а значит \(S_3\) соответствует площади поверхности большего шара. Итак, искомая площадь большего шара выражается как \(S_{\text{больш.}}=S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\).