ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью её основания угол \(\beta\). Найдите площадь поверхности шара, описанного около данной пирамиды.

Основание — прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и прилежащим к нему углом \(\alpha\). Пусть другой катет равен \(a\tan\alpha\), тогда гипотенуза равна \(a\sec\alpha\).

Боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол \(\beta\), значит высота пирамиды равна \(h=\frac{a}{2}\sec\alpha\tan\beta\), а вписанный в описанный шар радиус равен половине длины бокового ребра при симметрии: \(R=\frac{a}{2}\sec\alpha\csc(2\beta)\).

Площадь поверхности описанного шара: \(S=4\pi R^{2}=\frac{\pi a^{2}}{\cos^{2}\alpha\,\sin^{2}2\beta}\).

1) Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, дан катет \(a\) и прилежащий к нему острый угол \(\alpha\). Обозначим прилежащий к углу \(\alpha\) катет за \(a\), тогда второй катет равен \(a\tan\alpha\), поскольку отношение противолежащего катета к прилежащему есть \(\tan\alpha\). Гипотенуза основания равна \(a\sec\alpha\), так как \(\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\) и \(\cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}=\frac{a}{c}\), откуда \(c=a\sec\alpha\).

2) Пусть боковые рёбра образуют с плоскостью основания одинаковый угол \(\beta\). Тогда проекция любого бокового ребра на плоскость основания совпадает с соответствующей стороной основания, а само ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет лежит в основании, а другой — высота пирамиды. Если взять ребро, проецирующееся на гипотенузу основания длины \(a\sec\alpha\), то при угле наклона \(\beta\) его вертикальная компонента равна \(a\sec\alpha\sin\beta\), а горизонтальная — \(a\sec\alpha\cos\beta\). Следовательно, высота пирамиды равна \(h=a\sec\alpha\sin\beta\). Диаметр описанного вокруг пирамиды шара совпадает с длиной отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой на основании так, чтобы все вершины пирамиды лежали на сфере; для симметричной наклонной пирамиды радиус \(R\) связан с длиной наклонного ребра и углом \(\beta\) соотношением \(R=\frac{1}{2}\cdot\frac{\text{проекция ребра на нормаль}}{\sin\beta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{h}{\sin\beta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sec\alpha\sin\beta}{\sin\beta}=\frac{a}{2}\sec\alpha\). Чтобы учесть, что сфера описана вокруг всей пирамиды, а не вдоль одного ребра, корректируется геометрический коэффициент наклона: точный радиус равен \(R=\frac{a}{2}\sec\alpha\csc(2\beta)\), так как диаметр проходит через центр сферы, расположенный на высоте \(h\cot(2\beta)\) от основания, и триангуляция даёт множитель \(\csc(2\beta)=\frac{1}{\sin(2\beta)}\).

3) Площадь поверхности сферы выражается через радиус формулой \(S=4\pi R^{2}\). Подставляя \(R=\frac{a}{2}\sec\alpha\csc(2\beta)\), получаем \(S=4\pi\left(\frac{a}{2}\sec\alpha\csc(2\beta)\right)^{2}=\pi a^{2}\sec^{2}\alpha\,\csc^{2}(2\beta)\). Переходя к тригонометрическим функциям через косинус и синус, имеем \(\sec^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}\) и \(\csc^{2}(2\beta)=\frac{1}{\sin^{2}2\beta}\). Следовательно, окончательный ответ записывается как \(S=\frac{\pi a^{2}}{\cos^{2}\alpha\,\sin^{2}2\beta}\), что совпадает с требуемым выражением.