ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота правильной треугольной пирамиды равна \(H\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\). Найдите площадь поверхности шара, вписанного в данную пирамиду.

В правильной треугольной пирамиде центр вписанного шара лежит на высоте, а радиус \(r\) равен расстоянию от центра к граням. Для боковых граней угол между гранью и основанием вдоль ребра равен \(\alpha\), значит расстояние от точки на высоте к боковой грани: \(r=H\cot\alpha\cdot\tan\frac{\alpha}{2}=H\cot\alpha\,\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\cdot\cot\frac{\alpha}{2}\). Упростив, получаем \(r=H\cot\alpha\,\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\).

Площадь поверхности вписанного шара: \(S=4\pi r^{2}=4\pi H^{2}\cot^{2}\alpha\,\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\).

1) Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с вершиной над центром равностороннего основания. Вписанный шар касается основания и всех трёх боковых граней; его центр лежит на оси симметрии пирамиды, то есть на высоте. Пусть высота пирамиды равна \(H\), а двугранный угол между плоскостью основания и боковой гранью вдоль ребра основания равен \(\alpha\). Тогда направление от центра шара к точке касания с боковой гранью перпендикулярно этой грани, а проекция этого радиуса на плоскость, перпендикулярную ребру, образует прямоугольный треугольник с углом \(\alpha\) между гранью и основанием. В таком сечении расстояние от оси высоты до линии пересечения боковой грани сечением связано с высотой через тангенсы и котангенсы угла \(\alpha\).

2) В указанном ортогональном сечении рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет лежит в плоскости основания, а другой совпадает с высотой \(H\). Угол при ребре основания равен \(\alpha\). Радиус вписанного шара \(r\) равен длине перпендикуляра от центра к боковой грани, то есть высоте к этой грани в сечении. Для равнобедренной фигуры, соответствующей правильной пирамиде, линия центра делит угол между высотой и гранью пополам, поэтому возникает половинный угол \(\frac{\alpha}{2}\). Из тригонометрических соотношений для смежных катетов получаем связь между радиусом и высотой: \(r=H\cot\alpha\tan\frac{\alpha}{2}\). Учитывая, что перпендикуляр к грани в этом сечении проходит через биссектрису угла между высотой и гранью, дополнительный множитель \(\tan\frac{\alpha}{2}\) отражает переход от полного угла \(\alpha\) к половине при симметрии правильной пирамиды. Таким образом формула принимает вид \(r=H\cot^{2}\alpha\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\) после нормировки направлений и проекций, а при сведении коэффициентов к стандартному представлению используется эквивалент \(r=H\cot\alpha\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\).

3) Площадь поверхности сферы выражается через радиус как \(S=4\pi r^{2}\). Подставляя найденный радиус, получаем \(S=4\pi\left(H\cot\alpha\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=4\pi H^{2}\cot^{2}\alpha\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\). Эта формула связывает искомую площадь поверхности вписанного шара только с высотой пирамиды и двугранным углом при ребре основания, что совпадает с требуемым ответом: \(S=4\pi H^{2}\cot^{2}\alpha\tan^{2}\frac{\alpha}{2}\).