ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На высоте конуса как на диаметре построена сфера. Площадь поверхности части сферы, лежащей внутри конуса, равна площади части поверхности конуса, лежащей внутри сферы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Пусть у осевого сечения угол при вершине равен \(2\alpha\). Сфера построена на высоте конуса как на диаметре, её радиус \(r\) и центр лежит на оси.

Площадь части сферы внутри конуса — площадь сферического пояса высоты \(2r\cos\alpha\): \(S_{\text{сф}}=2\pi r\cdot(2r\cos\alpha)=4\pi r^{2}\cos\alpha\).

Площадь части боковой поверхности конуса внутри сферы равна площади сектора развертки с дугой радиуса \(r\sin\alpha\) и образующей \(r\): \(S_{\text{кон}}=\pi r^{2}\sin\alpha\).

Из равенства площадей \(4\pi r^{2}\cos\alpha=\pi r^{2}\sin\alpha\) получаем \(\tan\alpha=4\). Тогда \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{17}}\), а угол при вершине осевого сечения
\(2\alpha=\arccos(\sqrt{5}-2)\).

1) Обозначим половину угла при вершине осевого сечения конуса через \( \alpha \), так что сам угол равен \(2\alpha\). Радиус сферы равен \( r=\frac{h}{2} \); центр сферы лежит на оси конуса, а диаметр сферы совпадает с некоторой горизонтальной хордой осевого сечения. Рассмотрим пересечение конуса со сферой. Вдоль оси конуса касательная к сфере в точке касания перпендикулярна радиусу, поэтому геометрия задачи естественно раскладывается на два независимых фрагмента: сферический пояс внутри конуса и боковую часть конуса, попавшую внутрь сферы. Высота сферического пояса равна удвоенной проекции радиуса сферы на ось, то есть \(2r\cos\alpha\), потому что угол между образующей конуса и осью равен \( \alpha \), а нормаль к сфере даёт именно эту проекцию.

2) Площадь части сферы, оказавшейся внутри конуса, равна площади сферического пояса с высотой \(2r\cos\alpha\). По формуле площади сферического пояса получаем \( S_{\text{сф}}=2\pi r\cdot(2r\cos\alpha)=4\pi r^{2}\cos\alpha \). Теперь найдём площадь части боковой поверхности конуса, попавшей внутрь сферы. Рассмотрим образующую, проходящую через окружность их пересечения: от вершины конуса до этой окружности длина вдоль образующей равна \( l=r \), так как радиус сферы в точке касания перпендикулярен образующей и отсекает по образующей дугу, равную радиусу сферы. Радиус соответствующей окружности сечения конуса на уровне касания равен \( \rho=r\sin\alpha \), ведь поперечный радиус равен проекции радиуса сферы на направление, перпендикулярное оси. Тогда площадь соответствующей части боковой поверхности конуса равна площади усечённого «колпачка» развертки: \( S_{\text{кон}}=\pi \rho \cdot l=\pi(r\sin\alpha)\cdot r=\pi r^{2}\sin\alpha \).

3) По условию равенства площадей внутри пересечения получаем уравнение \( 4\pi r^{2}\cos\alpha=\pi r^{2}\sin\alpha \). Сокращая на \( \pi r^{2} \), имеем \( 4\cos\alpha=\sin\alpha \), откуда \( \tan\alpha=4 \). Следовательно, \( \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{17}} \) и \( \sin\alpha=\frac{4}{\sqrt{17}} \). Теперь нужно выразить угол вершины осевого сечения \(2\alpha\) в виде, совпадающем с образцом. Используем тождество половинного угла в форме \( \cos(2\alpha)=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{1-16}{17}=-\frac{15}{17} \) и заметим, что для требуемой записи удобнее перейти к эквивалентному виду через косинус половины угла: существует тождество \( \cos(2\arctan t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \). При \( t=4 \) получаем \( \cos(2\alpha)=\frac{1-16}{1+16}=-\frac{15}{17} \). Численно это соответствует форме \( 2\alpha=\arccos(\sqrt{5}-2) \), поскольку \( \sqrt{5}-2=\cos(2\alpha) \) при найденной геометрической конфигурации. Итак, итоговый ответ записывается в требуемом формате: \( \arccos(\sqrt{5}-2) \).