ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь большого круга шара равна \(S\). Найдите площадь поверхности данного шара.

Пусть радиус шара \(R\). Площадь большого круга равна \(S=\pi R^2\), значит \(R^2=\frac{S}{\pi}\).

Площадь поверхности шара: \(4\pi R^2=4\pi\cdot\frac{S}{\pi}=4S\).

Пусть дан шар радиуса \(R\). Большой круг шара — это сечение плоскостью, проходящей через центр шара; радиус этого круга равен радиусу шара, то есть \(R\). Тогда его площадь выражается как \(S=\pi R^2\). Из этого равенства непосредственно находим радиус через заданную площадь большого круга: \(R^2=\frac{S}{\pi}\). Этот шаг важен, поскольку связывает геометрическую характеристику сечения шара с параметром, который используется в формуле площади поверхности самого шара.

Площадь поверхности шара выражается известной формулой \(4\pi R^2\). Подставляя ранее найденное выражение для \(R^2\), получаем \(4\pi R^2=4\pi\cdot\frac{S}{\pi}\). Сокращая \(\pi\), имеем \(4\pi\cdot\frac{S}{\pi}=4S\). Таким образом, площадь поверхности шара прямо пропорциональна площади его большого круга с коэффициентом \(4\), что отражает отношение площадей между двумерным сечением и полной трёхмерной оболочкой.

Итоговый переход от данных к ответу состоит из двух стандартных формул и одной подстановки: сначала используем \(S=\pi R^2\) для нахождения \(R^2\), затем подставляем в формулу поверхности \(4\pi R^2\). Результат: площадь поверхности данного шара равна \(4S\).