ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что отношение объёмов усечённого конуса и вписанного в него шара равно отношению полной поверхности усечённого конуса к поверхности шара.

Пусть у усечённого конуса радиусы оснований \(r_1,r_2\), высота \(h\), образующая \(\ell\). Тогда \(V_{\text{к}}=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\), \(S_{\text{к}}=\pi(r_1^2+r_2^2)+\pi(r_1+r_2)\ell\).

Вписанный шар радиуса \(r\) касается обоих оснований и боковой поверхности, поэтому расстояния от центра шара до оснований равны \(r\), а до боковой поверхности по нормали также \(r\). Из подобия образующих сечений получается соотношение касаний: \(h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=r\big((r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2\big)\).

Тогда \(\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ш}}}=\frac{\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{4r^3}\) и \(\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}=\frac{\pi(r_1^2+r_2^2)+\pi(r_1+r_2)\ell}{4\pi r^2}=\frac{(r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2}{4r^2}\).

Подставляя найденное соотношение, получаем равенство долей: \(\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ш}}}=\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}\).

Рассматриваем усечённый круговой конус с радиусами оснований \(r_1\) и \(r_2\), высотой \(h\) и образующей \(\ell\). Его объём выражается через площади оснований \(S_1=\pi r_1^2\) и \(S_2=\pi r_2^2\) формулой \(V_{\text{к}}=\frac{h}{3}(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\). Полная поверхность усечённого конуса состоит из двух оснований и боковой поверхности, поэтому \(S_{\text{к}}=\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi(r_1+r_2)\ell\). Внутрь конуса вписан шар радиуса \(r\), который касается обеих оснований и боковой поверхности. Для шара известны стандартные формулы: \(S_{\text{ш}}=4\pi r^2\) и \(V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi r^3\).

Ключевое геометрическое соотношение получается из условия касания шара к боковой поверхности конуса и из подобия сечений усечённого конуса плоскостями, параллельными основаниям. Центр шара расположен на оси конуса так, что расстояние до каждого основания равно \(r\), а до боковой поверхности по нормали также равно \(r\). Если рассмотреть осевое сечение, то задача сводится к касанию окружности радиуса \(r\) к двум параллельным отрезкам-основаниям и к боковой линии, являющейся наклонной стороной трапеции. Анализ подобия треугольников, образующихся из продолжения образующей к вершине исходного полного конуса, приводит к линейной связи между \(h\), \(r\), \(r_1\), \(r_2\) и \(\ell\). В результате получается соотношение баланса площадей и длин: \(h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=r\big((r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2\big)\). Эта связь отражает равенство произведения высоты на средневзвешенную площадь сечения и произведения радиуса шара на суммарную «развёрнутую» длину боковой поверхности вместе с площадями оснований.

Используя это соотношение, сравним отношения объёмов и площадей. Для объёмов имеем \(\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ш}}}=\frac{\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{4r^3}\). Для площадей получаем \(\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}=\frac{\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi(r_1+r_2)\ell}{4\pi r^2}=\frac{(r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2}{4r^2}\). Подставляя геометрическое равенство \(h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)=r\big((r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2\big)\), видим, что числитель дроби для отношения объёмов превращается в \(r\) умноженный на числитель дроби для отношения площадей, а знаменатели отличаются ровно на дополнительный множитель \(r\). Следовательно, \(\frac{h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)}{4r^3}=\frac{r\big((r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2\big)}{4r^3}=\frac{(r_1+r_2)\ell+r_1^2+r_2^2}{4r^2}\), то есть \(\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ш}}}=\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}\). Таким образом, при наличии вписанного шара отношение объёмов усечённого конуса и шара совпадает с отношением их полных площадей поверхностей, что и требовалось установить.