ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Около шара радиуса 1 см описан конус, высота которого равна 4 см. Найдите отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Радиус шара \(r=1\) см, высота конуса \(h=4\) см, значит радиус основания конуса \(R=2r=2\) см, образующая \(l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) см.

Площадь полной поверхности конуса: \(S_{\text{к}}=\pi R^2+\pi R l=\pi\cdot 2^2+\pi\cdot 2\cdot 2\sqrt{5}=4\pi+4\pi\sqrt{5}\).

Площадь поверхности шара: \(S_{\text{ш}}=4\pi r^2=4\pi\).

Отношение: \(\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}=\frac{4\pi+4\pi\sqrt{5}}{4\pi}=1+\sqrt{5}\).

1) Пусть шар радиуса \(r=1\) см вписан в конус, а конус описан вокруг шара. При центральной осевой симметрии для правильного кругового конуса, описанного вокруг шара, радиус основания конуса в точке касания равен удвоенному радиусу шара: \(R=2r=2\) см. Высота конуса дана \(h=4\) см. Образующая конуса находится по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей: \(l=\sqrt{R^{2}+h^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) см. Эти геометрические связи определяют все необходимые параметры для вычисления площадей.

2) Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Формула полной площади: \(S_{\text{к}}=\pi R^{2}+\pi R l\). Подставляя найденные значения, получаем \(S_{\text{к}}=\pi\cdot 2^{2}+\pi\cdot 2\cdot 2\sqrt{5}=4\pi+4\pi\sqrt{5}\). Площадь поверхности шара выражается формулой \(S_{\text{ш}}=4\pi r^{2}\). Так как \(r=1\), то \(S_{\text{ш}}=4\pi\cdot 1^{2}=4\pi\). Таким образом, численно площади равны: для конуса \(4\pi(1+\sqrt{5})\), для шара \(4\pi\).

3) Требуется отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара: \(\frac{S_{\text{к}}}{S_{\text{ш}}}=\frac{4\pi+4\pi\sqrt{5}}{4\pi}=\frac{4\pi(1+\sqrt{5})}{4\pi}=1+\sqrt{5}\). Это отношение не зависит от единиц измерения и отражает, что добавление боковой поверхности конуса с образующей \(2\sqrt{5}\) увеличивает площадь по сравнению с сферической поверхностью в \(1+\sqrt{5}\) раза. Ответ: \(1+\sqrt{5}\).