ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

 Около шара радиуса 1 см описан конус, высота которого равна 4 см. Найдите отношение полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Пусть \(\angle A=x\). Тогда \(\angle C=\frac{x}{3}\), \(\angle B=\frac{x}{5}\).

В вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны \(180^\circ\): \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Получаем \(x+\frac{x}{3}=180^\circ\Rightarrow \frac{4x}{3}=180^\circ\Rightarrow x=135^\circ\).

Тогда \(\angle B=\frac{135^\circ}{5}=27^\circ\). По свойству противоположных углов \(\angle B+\angle D=180^\circ\), значит \(\angle D=180^\circ-27^\circ=153^\circ\).

1) Вписанный четырёхугольник обладает ключевым свойством: суммы его противоположных углов равны \(180^\circ\). То есть одновременно верны равенства \( \angle A+\angle C=180^\circ \) и \( \angle B+\angle D=180^\circ \). По условию дана зависимость между углами: угол \(A\) в 3 раза больше угла \(C\), а угол \(B\) в 5 раз меньше угла \(A\). Введём обозначение \( \angle A=x \). Тогда из кратности получаем \( \angle C=\frac{x}{3} \) и \( \angle B=\frac{x}{5} \). Эти выражения позволяют перейти от словесных отношений к алгебраическим уравнениям.

2) Применим свойство противоположных углов к паре \(A\) и \(C\). Подставляя выражения через \(x\), имеем \( \angle A+\angle C=180^\circ \Rightarrow x+\frac{x}{3}=180^\circ \). Складываем подобные слагаемые: \( x+\frac{x}{3}=\frac{3x+x}{3}=\frac{4x}{3} \). Отсюда следует уравнение \( \frac{4x}{3}=180^\circ \). Умножая обе части на \( \frac{3}{4} \), находим значение \(x\): \( x=180^\circ\cdot\frac{3}{4}=135^\circ \). Это и есть величина угла \(A\).

3) Теперь вычислим угол \(B\) по связи с \(A\): \( \angle B=\frac{x}{5}=\frac{135^\circ}{5}=27^\circ \). Осталось найти угол \(D\) как дополнительный к \(B\) в паре противоположных углов: \( \angle B+\angle D=180^\circ \Rightarrow 27^\circ+\angle D=180^\circ \). Следовательно, \( \angle D=180^\circ-27^\circ=153^\circ \). Ответ согласуется с исходными соотношениями: сумма \( \angle A+\angle C=135^\circ+45^\circ=180^\circ \), а также \( \angle B+\angle D=27^\circ+153^\circ=180^\circ \). Таким образом, искомый угол \(D\) равен \(153^\circ\).