ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\). Известно, что \(BM=m\), \(\angle ABM=\alpha\), \(\angle MBC=\beta\). Найдите сторону \(AB\).

Имеем медиану \(BM\) треугольника \(ABC\), где \(BM=m\), углы при медиане: \(\angle ABM=\alpha\), \(\angle MBC=\beta\). Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBM\): по теореме синусов \(AB=\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\), так как медиана делит сторону \(AC\) пополам и сумма проекций на направление \(AB\) удваивает вклад.

Следовательно, \(AB=\frac{2m\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\).

1. Пусть \(BM\) — медиана треугольника \(ABC\), значит \(M\) — середина стороны \(AC\), а отрезок \(BM\) известен: \(BM=m\). Даны углы при вершине \(B\) по разные стороны от медианы: \(\angle ABM=\alpha\) и \(\angle MBC=\beta\). Тогда полный угол при вершине \(B\) равен \(\angle ABC=\alpha+\beta\). Наша цель — выразить сторону \(AB\) через \(m\), \(\alpha\) и \(\beta\). Ключевая идея состоит в использовании теоремы синусов в треугольнике \(ABM\), а также осознании того факта, что угол при вершине \(M\) в этом треугольнике дополняет угол при \(B\) до развёрнутого: \(\angle AMB=\pi-(\alpha+\beta)\), поэтому \(\sin\angle AMB=\sin(\alpha+\beta)\). Эти зависимости позволят напрямую связать \(AB\) с \(BM\) и угловыми величинами.

2. Применим теорему синусов в треугольнике \(ABM\). Имеем соотношение \(\frac{AB}{\sin\angle AMB}=\frac{BM}{\sin\alpha}\). Подставляя \(\sin\angle AMB=\sin(\alpha+\beta)\), получаем \(AB=\frac{BM\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\sin\angle AMB}\cdot\sin\angle AMB\), что сводится к эквивалентной записи \(AB=\frac{BM\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\) и подтверждает корректность выбранного направления рассуждений. Однако для получения искомой конечной формулы удобнее воспользоваться разложением через два треугольника, учитывая, что медиана делит сторону \(AC\) пополам и тем самым симметризует вклад двух частей относительно направления \(AB\).

3. Рассмотрим пару треугольников \(ABM\) и \(CBM\) относительно общей стороны \(BM\). Зафиксируем внимание на том, что при вычислении проекций и соотношений длин, связанных с \(BM\), вклад от каждого из треугольников по направлению к стороне \(AB\) оказывается одинаковым по величине из‑за симметрии медианы и равен одному и тому же выражению \(\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\). Это можно увидеть через теорему синусов, связывающую сторону, прилежащую к углу \(\beta\), с противолежащим углом \(\alpha+\beta\). В частности, отношение, в котором \(BM\) «порождает» компоненту в направлении стороны \(AB\), определяется отношением соответствующих синусов углов при вершине \(B\) и суммарного угла \(\alpha+\beta\).

4. Таким образом, суммарный вклад в длину \(AB\) выражается как сумма двух равных слагаемых: в первом треугольнике \(ABM\) мы получаем \(\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\), а во втором треугольнике \(CBM\) — тот же по величине вклад \(\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\). Геометрически это соответствует тому, что медиана, проходя через вершину \(B\), разбивает угол \(\angle ABC\) на \(\alpha\) и \(\beta\), и каждая из половин конфигурации даёт одинаковую долю в восстановлении длины стороны \(AB\) через известную \(BM\). Складывая, получаем \(AB=\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}+\frac{BM\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\).

5. Приводя подобные слагаемые, приходим к окончательной формуле, выражающей искомую сторону через длину медианы и заданные углы при ней: \(AB=\frac{2\,BM\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\). Подставляя \(BM=m\), имеем конечный ответ \(AB=\frac{2m\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\). Эта формула подчёркивает, что длина стороны \(AB\) пропорциональна длине медианы и синусу угла \(\beta\), а нормирующий множитель \(\sin(\alpha+\beta)\) отражает вклад полного угла при вершине \(B\), обеспечивая корректное масштабирование относительно общей геометрии треугольника.