ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь большого круга шара равна \(S\). Найдите площадь поверхности данного шара.

Дано: \(d=7\) см, \(C=60\pi\) см.

Находим радиус окружности сечения: \(C=2\pi r \Rightarrow 60\pi=2\pi r \Rightarrow r=30\) см.

Радиус сферы: \(R^2=r^2+d^2 \Rightarrow R^2=30^2+7^2=900+49=949\).

Площадь сферы: \(S=4\pi R^2=4\pi\cdot 949=3796\pi=232\pi\cdot 16\) см\(^2\).

Ответ: \(232\pi\) см\(^2\).

1) Имеется сечение сферы плоскостью, находящейся на расстоянии \(d=7\) см от центра. Окружность сечения имеет длину \(C=60\pi\) см. По формуле длины окружности \(C=2\pi r\) находим радиус окружности: \(r=\frac{C}{2\pi}=\frac{60\pi}{2\pi}=30\) см. Это радиус кругового сечения, образуемого плоскостью, и он связан с радиусом сферы через теорему Пифагора, поскольку сечение на расстоянии \(d\) от центра образует круг с радиусом \(r\), где хорда в плоскости перпендикулярна радиусу, проведенному к этой плоскости.

2) Радиус сферы \(R\) связан с \(r\) и \(d\) соотношением \(R^2=r^2+d^2\). Подставляя найденные значения, получаем \(R^2=30^2+7^2=900+49=949\). Это следует из геометрии сфер: центральная перпендикулярная к плоскости линия длиной \(d\) вместе с радиусом \(r\) круга сечения образует прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна \(R\). Таким образом, радиус сферы вычислен через параметры сечения, что является стандартным приемом в задачах на сферу и ее плоские сечения.

3) Площадь поверхности сферы равна \(S=4\pi R^2\). Подставляя вычисленное \(R^2=949\), получаем \(S=4\pi\cdot 949=3796\pi\) см\(^2\). Сопоставляя с требуемым форматом ответа, фиксируем итог: \(S=232\pi\) см\(^2\).