ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площадь сечения шара плоскостью, удалённой от его центра на 4 см, равна 24\(\pi\) см\(^2\). Найдите площадь поверхности шара.

Дано: плоскость на расстоянии \(d=4\) см от центра шара, площадь кругового сечения \(S_{\text{сеч}}=24\pi\) см\(^2\).

Из формулы площади сечения шара: \(S_{\text{сеч}}=\pi r_{\text{сеч}}^2\). Тогда \(r_{\text{сеч}}^2=24 \Rightarrow r_{\text{сеч}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) см. Радиус шара \(R\) связан с \(r_{\text{сеч}}\) и \(d\) как \(r_{\text{сеч}}^2=R^2-d^2\). Следовательно, \(R^2=24+16=40 \Rightarrow R=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) см.

Площадь поверхности шара: \(S_{\text{пов}}=4\pi R^2=4\pi\cdot 40=160\pi\) см\(^2\).

1. Дано: плоскость отстоит от центра шара на расстояние \(d=4\) см, площадь кругового сечения равна \(S_{\text{сеч}}=24\pi\) см\(^2\). Круговое сечение шара есть окружность, образующаяся при пересечении шара плоскостью; его площадь выражается формулой \(S_{\text{сеч}}=\pi r_{\text{сеч}}^{2}\), где \(r_{\text{сеч}}\) — радиус этой окружности. Подставляя значение площади, получаем из равенства \(24\pi=\pi r_{\text{сеч}}^{2}\) немедленно \(r_{\text{сеч}}^{2}=24\), а значит \(r_{\text{сеч}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) см. Здесь важно понимать, что сокращение \(\pi\) корректно, так как оно выступает общим множителем в обеих частях равенства.

2. Связь геометрии сечения с радиусом шара описывается теоремой Пифагора в сечении, проходящем через центр шара и перпендикуляр к плоскости сечения: радиус шара \(R\), расстояние \(d\) от центра до плоскости и радиус окружности сечения \(r_{\text{сеч}}\) образуют прямоугольный треугольник с катетами \(r_{\text{сеч}}\) и \(d\) и гипотенузой \(R\). Поэтому выполняется равенство \(r_{\text{сеч}}^{2}=R^{2}-d^{2}\). Подставляя найденное \(r_{\text{сеч}}^{2}=24\) и известное \(d^{2}=16\), получаем \(R^{2}=24+16=40\), откуда \(R=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\) см. Это означает, что действительный радиус шара больше радиуса окружности сечения на учет расстояния от плоскости до центра шара.

3. Площадь полной поверхности шара выражается стандартной формулой \(S_{\text{пов}}=4\pi R^{2}\). Подставляя вычисленное \(R^{2}=40\), имеем \(S_{\text{пов}}=4\pi\cdot 40=160\pi\) см\(^2\). Таким образом, используя поочередно формулу площади кругового сечения, связь радиусов через теорему Пифагора и формулу полной площади поверхности шара, приходим к искомому результату: \(S_{\text{пов}}=160\pi\) см\(^2\).