ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В каком случае расходуется больше материала: на никелировку одного шара диаметром 6 см или на никелировку 8 шаров диаметром 1 см каждый?

Площадь поверхности одного шара диаметром 6 см: \(S_1=\pi d^2=\pi\cdot6^2=36\pi\).

Площадь поверхности восьми шаров диаметром 1 см: \(S_2=8\cdot\pi d^2=8\cdot\pi\cdot1^2=8\pi\).

Следовательно, \(36\pi>8\pi\), значит на никелировку одного шара диаметром 6 см расходуется больше материала.

1. Площадь поверхности шара выражается формулой \(S=4\pi r^{2}\). Так как диаметр \(d=2r\), то \(r=\frac{d}{2}\), и формула переписывается в эквивалентном виде \(S=\pi d^{2}\). Это удобно, потому что в задаче заданы диаметры. Для одного шара диаметром \(6\) см получаем \(S_{6}=\pi\cdot6^{2}=36\pi\) \(\text{см}^{2}\). Эта величина полностью описывает площадь, которую нужно покрыть никелем для одного большого шара.

2. Для восьми шаров диаметром \(1\) см сначала находим площадь одного такого шара: \(S_{1}=\pi\cdot1^{2}=\pi\) \(\text{см}^{2}\). Поскольку все шары одинаковы и покрываются полностью, суммарная площадь равна сумме площадей: \(S_{8}=8\cdot S_{1}=8\cdot\pi=8\pi\) \(\text{см}^{2}\). Здесь используется линейность сложения площадей: покрытие каждой поверхности не перекрывается и суммируется напрямую.

3. Сравним полученные площади покрытий, так как расход материала пропорционален покрываемой площади: \(S_{6}=36\pi\) и \(S_{8}=8\pi\). Ясно, что \(36\pi>8\pi\), следовательно, для большого шара требуется больше материала. Вывод: на никелировку одного шара диаметром \(6\) см расходуется больше материала, чем на никелировку \(8\) шаров диаметром \(1\) см каждый.