ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны 400\(\pi\) см\(^2\) и 49\(\pi\) см\(^2\). Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 9 см.

Пусть радиус шара \(R\), расстояния от центра до плоскостей \(h_1,h_2\) (по одну сторону). Из площадей кругов: \(S_1=\pi(R^2-h_1^2)=400\pi \Rightarrow R^2-h_1^2=400\), \(S_2=\pi(R^2-h_2^2)=49\pi \Rightarrow R^2-h_2^2=49\). Разность расстояний равна \(h_2-h_1=9\).

Из \(h_2^2-h_1^2=(h_2-h_1)(h_2+h_1)=R^2-49-(R^2-400)=351\), получаем \((9)(h_2+h_1)=351 \Rightarrow h_1+h_2=39\). Тогда система \(h_2-h_1=9\), \(h_1+h_2=39\) даёт \(h_1=15\), \(h_2=24\). По \(R^2-h_1^2=400\): \(R^2=400+225=625 \Rightarrow R=25\).

Площадь поверхности шара: \(S=4\pi R^2=4\pi\cdot 625=2500\pi\ \text{см}^2\).

1. Пусть радиус шара \(R\). Возьмём две параллельные плоскости, обе по одну сторону от центра, и обозначим их расстояния от центра как \(h_1\) и \(h_2\), где по условию \(h_2>h_1\) и \(h_2-h_1=9\). Площадь кругового сечения шара плоскостью на расстоянии \(h\) от центра равна \(S=\pi(R^2-h^2)\). Из данных задачей площадей получаем два уравнения: \(S_1=400\pi=\pi(R^2-h_1^2)\), откуда \(R^2-h_1^2=400\); и \(S_2=49\pi=\pi(R^2-h_2^2)\), откуда \(R^2-h_2^2=49\). Эти равенства связывают неизвестные \(R\), \(h_1\) и \(h_2\) и позволяют выразить разность квадратов расстояний от центра через известные числа.

2. Вычтем второе равенство из первого: \(R^2-h_1^2-(R^2-h_2^2)=400-49\), то есть \(h_2^2-h_1^2=351\). С другой стороны, \(h_2^2-h_1^2=(h_2-h_1)(h_2+h_1)\). Так как \(h_2-h_1=9\), находим \(9(h_2+h_1)=351\), следовательно \(h_2+h_1=39\). Теперь решим систему двух линейных уравнений \(h_2-h_1=9\) и \(h_2+h_1=39\): сложением получаем \(2h_2=48\), значит \(h_2=24\); подстановкой в первое равенство получаем \(h_1=15\). Подставим найденный \(h_1\) в \(R^2-h_1^2=400\): \(R^2-15^2=400\), то есть \(R^2-225=400\), отсюда \(R^2=625\) и \(R=25\ \text{см}\).

3. Площадь полной поверхности шара выражается формулой \(S=4\pi R^2\). Подставляя найденное значение \(R^2=625\), получаем \(S=4\pi\cdot 625=2500\pi\ \text{см}^2\). Таким образом, используя связь площади кругового сечения шара с расстоянием плоскости от центра, а также разложение разности квадратов на множители, мы нашли расстояния \(h_1\) и \(h_2\), затем радиус шара и итоговую площадь его поверхности: \(2500\pi\ \text{см}^2\).