ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Два сечения шара имеют только одну общую точку, а их плоскости перпендикулярны. Радиус одного сечения равен 5 см, а радиус другого — 12 см. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть радиусы кругов-сечений равны \(r_1=5\) и \(r_2=12\). При взаимно перпендикулярных плоскостях сечений и единственной общей точке их центры лежат на взаимно перпендикулярных хордах, а радиус шара \(R\) удовлетворяет \(R^2=r_1^2+r_2^2\).

Тогда \(R=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13\).

Площадь поверхности шара: \(S=4\pi R^2=4\pi\cdot 13^2=4\pi\cdot 169=676\pi\ \text{см}^2\).

1) Рассмотрим сферу и два её круговых сечения. Условие «имеют только одну общую точку» при перпендикулярности плоскостей означает, что плоскости пересекаются по общей прямой, проходящей через центр сферы, но сами круги в этих плоскостях касаются друг друга лишь в одной точке на поверхности. Это геометрически возможно, если центры кругов-сечений лежат на взаимно перпендикулярных направлениях внутри сферы, а расстояния от центров сферических сечений до центра сферы таковы, что радиусы кругов удовлетворяют теореме Пифагора для радиуса сферы. Пусть радиусы кругов-сечений равны \(r_1=5\) см и \(r_2=12\) см. Внутри сферы соответствующие «малым радиусам» отрезки от центра сферы до плоскостей сечений образуют прямоугольные расстояния, поэтому для радиуса сферы \(R\) выполняется связь \(R^2=r_1^2+r_2^2\). Это классический результат: если две взаимно перпендикулярные плоскости дают сечения радиусов \(r_1\) и \(r_2\), то квадрат радиуса сферы равен сумме квадратов радиусов этих сечений.

2) Подставим значения. Имеем \(R^2=5^2+12^2=25+144=169\), следовательно \(R=\sqrt{169}=13\) см. Проверка согласуется с конфигурацией: каждое сечение есть круг в соответствующей плоскости, а расстояния от центра сферы до краёв кругов образуют радиус \(R\), который по Пифагору восстанавливается из компонент \(r_1\) и \(r_2\) при перпендикулярных плоскостях и единственной общей точке касания кругов на поверхности.

3) Площадь поверхности сферы выражается формулой \(S=4\pi R^2\). Подставляя найденный радиус \(R=13\), получаем \(S=4\pi\cdot 13^2=4\pi\cdot 169=676\pi\) \(\text{см}^2\). Ответ согласуется с вычислением на фото: сначала восстановлен радиус \(R=\sqrt{25+144}=13\), затем по формуле площади поверхности сферы \(S=4\pi R^2\) получено \(676\pi\) \(\text{см}^2\).