ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 21.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Площади двух параллельных сечений шара, расположенных по разные стороны от его центра, равны 9\(\pi\) см\(^2\) и 25\(\pi\) см\(^2\). Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между плоскостями сечений равно 8 см.

Находим радиусы кругов сечений: из \(S=\pi r^2\) получаем \(r_1=3\) см и \(r_2=5\) см.

По теореме Пифагора для расстояний от центра шара до плоскостей: пусть радиус шара \(R\). Тогда \(h_1=\sqrt{R^2-3^2}\), \(h_2=\sqrt{R^2-5^2}\), а \(h_1+h_2=8\).

Имеем \(\sqrt{R^2-9}+\sqrt{R^2-25}=8\). Перенося и возводя в квадрат: \(\sqrt{R^2-9}=8-\sqrt{R^2-25}\Rightarrow R^2-9=64-16\sqrt{R^2-25}+R^2-25\). Отсюда \(16\sqrt{R^2-25}=48\Rightarrow \sqrt{R^2-25}=3\Rightarrow R^2-25=9\Rightarrow R^2=34\).

Площадь поверхности шара: \(S=4\pi R^2=4\pi\cdot34=136\pi\) см\(^2\).

1. Пусть данные площади параллельных круговых сечений шара равны \(S_1=9\pi\) см\(^2\) и \(S_2=25\pi\) см\(^2\). Радиусы этих окружностей на плоскостях сечений найдём из формулы площади круга \(S=\pi r^2\). Тогда \(r_1=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}=\sqrt{\frac{9\pi}{\pi}}=3\) см и \(r_2=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}=\sqrt{\frac{25\pi}{\pi}}=5\) см. Обозначим радиус шара через \(R\), а расстояния от центра шара до каждой из плоскостей сечений через \(h_1\) и \(h_2\). Поскольку плоскости лежат по разные стороны от центра и расстояние между ними равно 8 см, то \(h_1+h_2=8\). Для каждого сечения по теореме Пифагора в трёхмерном пространстве связь радиуса шара, радиуса окружности сечения и расстояния от центра до плоскости такова: \(r^2=R^2-h^2\). Следовательно, \(h_1=\sqrt{R^2-r_1^2}=\sqrt{R^2-3^2}=\sqrt{R^2-9}\) и \(h_2=\sqrt{R^2-r_2^2}=\sqrt{R^2-5^2}=\sqrt{R^2-25}\).

2. Получаем уравнение на радиус шара из суммы расстояний: \(\sqrt{R^2-9}+\sqrt{R^2-25}=8\). Перенесём один корень вправо: \(\sqrt{R^2-9}=8-\sqrt{R^2-25}\). Возведём в квадрат обе части, аккуратно раскрывая: левая часть даёт \(R^2-9\), правая часть даёт \(8^2-2\cdot8\sqrt{R^2-25}+(R^2-25)=64-16\sqrt{R^2-25}+R^2-25\). После сокращения одинаковых членов \(R^2\) получаем равенство \(R^2-9=R^2+64-25-16\sqrt{R^2-25}\), то есть \(R^2-9=R^2+39-16\sqrt{R^2-25}\). Переносим \(R^2\) и числа, выходит \(16\sqrt{R^2-25}=48\). Делим на 16: \(\sqrt{R^2-25}=3\). Возводим в квадрат ещё раз, чтобы избавиться от корня: \(R^2-25=9\), откуда \(R^2=34\). Таким образом радиус шара удовлетворяет найденному значению квадрата радиуса, и проверка исходного уравнения показывает согласованность: \(\sqrt{34-9}+\sqrt{34-25}=\sqrt{25}+\sqrt{9}=5+3=8\).

3. Площадь полной поверхности шара выражается формулой \(S=4\pi R^2\). Подставляем найденное значение \(R^2=34\): \(S=4\pi\cdot34=136\pi\) см\(^2\). Этот результат согласуется с исходными данными: радиусы кругов сечений \(3\) см и \(5\) см соответствуют расстояниям \(5\) см и \(3\) см от центра шара до плоскостей, их сумма равна 8 см, как и требуется. Следовательно, искомая площадь поверхности шара равна \(136\pi\) см\(^2\).