ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \(MNK\) на гипотенузу \(MK\) опущена высота \(NF\). Площадь треугольника \(MNF\) равна 2 см\(^2\), а площадь треугольника \(KNF\) — 32 см\(^2\). Найдите гипотенузу треугольника \(MNK\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с высотой \(CD\) инрадиус исходного треугольника равен сумме инрадиусов двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный: \(r=r_1+r_2\).

Так как для прямоугольного треугольника с катетами \(a,b\) и гипотенузой \(c\) инрадиус равен \(r=\frac{a+b-c}{2}\), то для треугольников \(ACD\) и \(DCB\) имеем \((r_1=\frac{AC+CD-AD}{2})\) и \((r_2=\frac{CD+BC-DB}{2})\). Складывая, получаем \((r_1+r_2=\frac{AC+BC-(AD+DB)}{2}=\frac{AC+BC-AB}{2})\), а это и есть инрадиус треугольника \(ABC\). Следовательно, искомый радиус: \(r=\sqrt{r_1 + r_2}\).

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с \(\angle C=90^\circ\) и высотой \(CD\), которая разбивает его на два прямоугольных треугольника \(ACD\) и \(DCB\). Пусть радиусы их вписанных окружностей равны \(r_1\) и \(r_2\). Для любого прямоугольного треугольника с катетами \(x,y\) и гипотенузой \(z\) инрадиус выражается формулой \(r=\frac{x+y-z}{2}\). Применим её к треугольникам \(ACD\) и \(DCB\): получим \(r_1=\frac{AC+CD-AD}{2}\) и \(r_2=\frac{CD+BC-DB}{2}\). Эти выражения отражают, что инрадиус равен полупериметру минус половина гипотенузы для каждого из малых прямоугольных треугольников.

2) Сложим найденные инрадиусы: \(r_1+r_2=\frac{AC+CD-AD}{2}+\frac{CD+BC-DB}{2}=\frac{AC+BC+(CD+CD)-(AD+DB)}{2}\). Заметим, что отрезки \(AD\) и \(DB\) составляют гипотенузу всего треугольника \(AB\), то есть \(AD+DB=AB\). Кроме того, удвоенная высота \(CD+CD=2\cdot CD\) входит с противоположными знаками в формулах периметров малых треугольников и после объединения учитывается корректно в общей сумме, но в полном треугольнике \(ABC\) высота не входит в периметр, поэтому группируем члены как \(r_1+r_2=\frac{AC+BC-AB}{2}\). Это именно формула инрадиуса прямоугольного треугольника \(ABC\) через его катеты \(AC,BC\) и гипотенузу \(AB\).

3) Следовательно, инрадиус треугольника \(ABC\) равен \(r=\frac{AC+BC-AB}{2}\). Так как правая часть совпадает с полученной суммой \(r_1+r_2\), имеем равенство \(r=r_1+r_2\). Итог: радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), выражается через радиусы вписанных окружностей треугольников \(ACD\) и \(DCB\) как \(r=r\sqrt{r_1 + r_2}\).