ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.100 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите диагональ AC четырёхугольника ABCD, если около него можно описать окружность и AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, AD = 6 см.

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противолежащих углов равна \(180^\circ\). Тогда для треугольников \(ABC\) и \(ADC\) по теореме косинусов:
\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B\) и \(AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos(180^\circ-\angle B)=AD^2+CD^2+\)
\(+2\cdot AD\cdot CD\cos\angle B\).

Приравнивая, находим \(\cos\angle B\): \((36+25)-(9+16)=-2\cos\angle B(12+30)\Rightarrow 36=-84\cos\angle B\Rightarrow\)
\( \cos\angle B=-\frac{3}{7}\).

Подставляя в первую формулу, получаем:
\(AC^2=9+16-2\cdot3\cdot4\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=25+\frac{72}{7}=\frac{247}{7}\).

Ответ: \(AC=\sqrt{\frac{247}{7}}\) см.

Рассмотрим вписанный четырёхугольник \(ABCD\), для которого справедливо свойство: сумма противолежащих углов равна \(180^\circ\), то есть \(\angle ABC+\angle ADC=180^\circ\). Это означает, что диагональ \(AC\) является общей стороной для треугольников \(ABC\) и \(ADC\), а углы при вершине \(B\) и при вершине \(D\), опирающиеся на одну и ту же дугу, дополняют друг друга до \(180^\circ\). Применим теорему косинусов отдельно в треугольниках \(ABC\) и \(ADC\), записав \(AC\) через известные стороны и косинус соответствующих углов. Для треугольника \(ABC\) имеем \(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B\). Для треугольника \(ADC\) с учётом того, что \(\angle ADC=180^\circ-\angle B\), получаем \(AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cos(180^\circ-\angle B)=AD^{2}+CD^{2}+\)
\(+2\cdot AD\cdot CD\cos\angle B\), поскольку \(\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\). Таким образом, у нас есть две формы для \(AC^{2}\), зависящие от \(\cos\angle B\).

Приравняем правые части двух выражений для \(AC^{2}\), чтобы исключить \(AC\) и найти \(\cos\angle B\). Получаем \(AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B=AD^{2}+CD^{2}+2\cdot AD\cdot CD\cos\angle B\). Перенесём члены, сгруппируем по \(\cos\angle B\): \((AD^{2}+CD^{2})-(AB^{2}+BC^{2})=-2\cos\angle B\,(AB\cdot BC+AD\cdot CD)\). Теперь подставим данные длины сторон \(AB=3\), \(BC=4\), \(CD=5\), \(AD=6\). Тогда левая часть равна \((6^{2}+5^{2})-(3^{2}+4^{2})=(36+25)-(9+16)=61-25=36\). Правая часть равна \(-2\cos\angle B\,(3\cdot4+6\cdot5)=-2\cos\angle B\,(12+30)=-2\cos\angle B\cdot42=\)
\(=-84\cos\angle B\). Следовательно, \(36=-84\cos\angle B\), откуда \(\cos\angle B=-\frac{3}{7}\). Отрицательное значение согласуется с тем, что в окружности возможен тупой угол при вершине \(B\), что не противоречит условию вписанности.

Зная \(\cos\angle B\), вернёмся к формуле теоремы косинусов для треугольника \(ABC\), чтобы явно найти длину \(AC\). Подставляем численные значения: \(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B=3^{2}+4^{2}-2\cdot3\cdot4\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=\)
\(=9+16+24\cdot\frac{3}{7}=25+\frac{72}{7}=\frac{175}{7}+\frac{72}{7}=\frac{247}{7}\). Отсюда длина диагонали равна \(AC=\sqrt{\frac{247}{7}}\). Эта величина однозначно определяется сторонами вписанного четырёхугольника за счёт связи углов, навязанной окружностью, и использования согласованных выражений для одной и той же диагонали через теорему косинусов в двух прилегающих треугольниках. Ответ: \(AC=\sqrt{\frac{247}{7}}\) см.