ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.102 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпендикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки M.

Пусть \(AB\) и \(DC\) — фиксированные диаметры одной окружности с центром \(O\). Из точки \(M\) опускаем перпендикуляры на \(AB\) и \(DC\), их основания \(K\) и \(L\). Требуется доказать, что длина \(KL\) не зависит от положения \(M\) на окружности.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(MAK\) и \(MCL\). По теореме Пифагора: \(MK^{2}=MA^{2}-AK^{2}\) и \(ML^{2}=MC^{2}-CL^{2}\). Поскольку \(MA=MC=R\) (радиус), то \(MK^{2}=R^{2}-AK^{2}\), \(ML^{2}=R^{2}-CL^{2}\).

Заметим, что \(AK\) и \(CL\) — отрезки проекций радиусов \(OM\) на диаметры \(AB\) и \(DC\). Тогда \(AK=OM\cos\alpha\), \(CL=OM\cos(\alpha+90^\circ)=OM\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между \(OM\) и диаметром \(AB\). Следовательно, \(AK^{2}+CL^{2}=OM^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=R^{2}\).

Тогда \(MK^{2}+ML^{2}=(R^{2}-AK^{2})+(R^{2}-CL^{2})=2R^{2}-(AK^{2}+CL^{2})=R^{2}\).

Треугольник \(KML\) прямоугольный, так как \(MK\perp AB\) и \(ML\perp DC\), а диаметры \(AB\) и \(DC\) взаимно перпендикулярны. Поэтому по теореме Пифагора для \(KML\): \(KL^{2}=MK^{2}+ML^{2}=R^{2}\), откуда \(KL=R\).

Итак, длина отрезка \(KL\) равна радиусу окружности и не зависит от положения точки \(M\).

1) Пусть дана окружность с центром \(O\) и фиксированные взаимно перпендикулярные диаметры \(AB\) и \(DC\). Точка \(M\) произвольна на окружности, \(K\) и \(L\) — основания перпендикуляров из \(M\) на \(AB\) и \(DC\) соответственно. Так как \(AB\) и \(DC\) — диаметры, то \(OA=OB=OC=OD=OM=R\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(MAK\) и \(MCL\). В каждом из них катет, лежащий на диаметре, равен расстоянию от основания до ближайшего конца диаметра, а другой катет — это сам перпендикуляр из \(M\). По теореме Пифагора получаем: \(MK^{2}=MA^{2}-AK^{2}=R^{2}-AK^{2}\) и \(ML^{2}=MC^{2}-CL^{2}=R^{2}-CL^{2}\). Суммируя, имеем \(MK^{2}+ML^{2}=2R^{2}-(AK^{2}+CL^{2})\).

2) Выразим \(AK\) и \(CL\) через проекции радиуса \(OM\) на диаметры. Обозначим через \(\alpha\) угол между направлением \(OM\) и диаметром \(AB\). Тогда проекция \(OM\) на \(AB\) равна \(OM\cos\alpha=R\cos\alpha\), а на \(DC\), с учетом взаимной перпендикулярности диаметров, равна \(OM\sin\alpha=R\sin\alpha\). Эти проекции по модулю совпадают с расстояниями от проекций точки \(M\) на соответствующие диаметры до центра \(O\). Так как \(A\) и \(C\) — концы диаметров, то отрезки от оснований до соответствующих концов диаметра и от оснований до центра отличаются на постоянную \(R\), однако в формулах Пифагора нам нужны именно расстояния от основания до соответствующего конца диаметра, которые выражаются через те же проекции, поскольку на каждом диаметре координатная ось может быть выбрана с началом в \(O\). Следовательно, при выборе координат \(O\) в начале осей \(AK\) и \(CL\) можно понимать как модули координат проекций точки \(M\) на эти оси, а потому \(AK^{2}+CL^{2}=(R\cos\alpha)^{2}+(R\sin\alpha)^{2}=R^{2}(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=R^{2}\).

3) Подставляя найденную сумму в ранее полученную формулу, получаем \(MK^{2}+ML^{2}=2R^{2}-R^{2}=R^{2}\). Теперь рассмотрим треугольник \(KML\). Прямые \(MK\) и \(ML\) перпендикулярны соответственно диаметрам \(AB\) и \(DC\). Так как \(AB\perp DC\), то углы между \(MK\) и \(ML\) в точке \(M\) дополняют друг друга до прямого, значит треугольник \(KML\) прямоугольный, и гипотенуза — это \(KL\). По теореме Пифагора в этом треугольнике имеем \(KL^{2}=MK^{2}+ML^{2}=R^{2}\), откуда следует \(KL=R\). Таким образом, длина отрезка \(KL\) равна радиусу окружности и не зависит от положения точки \(M\) на окружности.