ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.103 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки \(M_1\) и \(M_2\). Докажите, что \(M_1M_2 \perp OM\).

Пусть \(M_1\) и \(M_2\) — проекции точки \(M\) на лучи \(OA\) и \(OB\). Тогда по определению проекции \(OM_1 \perp MM_1\) и \(OM_2 \perp MM_2\), а значит углы \(\angle(OM,MM_1)=\angle(OM,MM_2)=90^\circ\).

Рассмотрим векторы: \(\vec{MM_1}\) и \(\vec{MM_2}\) оба перпендикулярны \(\vec{OM}\), следовательно они коллинеарны одной плоскости, образуя прямую, перпендикулярную \(\vec{OM}\). Отсюда отрезок, соединяющий основания двух перпендикуляров к одной прямой из одной точки, сам перпендикулярен этой прямой: \(M_1M_2 \perp OM\).

Итак, \(M_1M_2 \perp OM\), что и требовалось доказать.

Рассмотрим угол \(AOB\) и точку \(M\), лежащую внутри этого угла. Точки \(M_1\) и \(M_2\) определены как ортогональные проекции точки \(M\) на прямые \(OA\) и \(OB\) соответственно. По определению ортогональной проекции отрезки \(MM_1\) и \(MM_2\) перпендикулярны тем прямым, на которые проецируем: \(MM_1 \perp OA\) и \(MM_2 \perp OB\). При этом направления \(OA\) и \(OM\) совпадают как направления одной прямой \(O\!A\), а \(OB\) и \(OM\) лежат на одной прямой \(O\!B\) лишь в предельных случаях; однако ключевым является то, что в треугольниках \(OOM_1\) и \(OOM_2\) углы при \(M_1\) и \(M_2\) прямые: \(\angle OM_1M=90^\circ\) и \(\angle OM_2M=90^\circ\). Отсюда следует, что прямая \(OM\) является общей для обоих прямых углов, образованных с отрезками \(MM_1\) и \(MM_2\), то есть \(\angle(OM,MM_1)=\angle(OM,MM_2)=90^\circ\).

Рассмотрим векторную интерпретацию. Пусть \(\vec{u}=\vec{OM}\), \(\vec{a}=\vec{MM_1}\), \(\vec{b}=\vec{MM_2}\). Тогда из ортогональности проекций имеем \(\vec{u}\cdot\vec{a}=0\) и \(\vec{u}\cdot\vec{b}=0\). Значит, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) лежат в подпространстве, ортогональном \(\vec{u}\), то есть в одной плоскости, перпендикулярной прямой \(OM\) в точке \(M\). Эта плоскость является геометрическим местом всех векторов, перпендикулярных \(\vec{OM}\) в \(M\). Следовательно, любая линейная комбинация \(\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\) также перпендикулярна \(\vec{u}\). В частности, вектор \(\vec{M_1M_2}=\vec{MM_2}-\vec{MM_1}=\vec{b}-\vec{a}\) лежит в той же плоскости, ортогональной \(\vec{u}\), а значит \(\vec{u}\cdot\vec{M_1M_2}=0\), что эквивалентно \(M_1M_2 \perp OM\).

Дадим синтетическое обоснование через свойства равных прямых углов. Из точки \(M\) к прямой \(OM\) опущены два перпендикуляра \(MM_1\) и \(MM_2\), образующие при \(M\) прямые углы с \(OM\). Геометрический факт: множество всех направлений, образующих с данным направлением \(OM\) угол \(90^\circ\), образует единственную плоскость, перпендикулярную \(OM\) в точке \(M\). Следовательно, и \(M_1\), и \(M_2\) лежат в этой плоскости. Прямая, соединяющая две точки одной плоскости, перпендикулярной к \(OM\), сама целиком лежит в этой плоскости, то есть образует с \(OM\) угол \(90^\circ\). Поэтому отрезок \(M_1M_2\) перпендикулярен прямой \(OM\): \(M_1M_2 \perp OM\).