ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.104 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На стороне AC остроугольного треугольника АВС найдите такую точку, чтобы расстояние между её проекциями на две другие стороны было наименьшим.

Точка \(K\) должна быть серединой стороны \(AC\).

Пусть из точки \(X\in AC\) опущены перпендикуляры на \(AB\) и \(BC\) с основаниями \(P\) и \(Q\). Тогда отрезок \(PQ\) равен длине проекции \(AC\) на направление, перпендикулярное \(AB\) и \(BC\). По теореме о параллельных переносах \( |PQ| = |XH_B — XH_A| \), где \(H_A,H_B\) — основания высот из \(A\) и \(C\) на противоположные стороны, а функция \( |XH_B — XH_A| \) линейна по \(X\) и достигает минимума, когда \(X\) равноудалена от \(H_A\) и \(H_B\), то есть при \(X\) — середине \(AC\).

Следовательно, минимальное расстояние между проекциями на \(AB\) и \(BC\) достигается при выборе точки \(K\) — середины \(AC\), и значение минимума равно \( \frac{1}{2}|H_AH_B| \).

1) Искомая точка на стороне \(AC\) — середина \(K\) отрезка \(AC\). Обозначим через \(X\in AC\) произвольную точку. Пусть \(P\) и \(Q\) — её ортогональные проекции на стороны \(AB\) и \(BC\) соответственно; требуется минимизировать длину \(PQ\). Рассмотрим векторную проекцию отрезка на фиксированное направление. Отрезок \(PQ\) является проекцией вектора \(AX\) на направление, перпендикулярное \(AB\), минус проекция вектора \(CX\) на направление, перпендикулярное \(BC\). То есть \( \overrightarrow{PQ} = \pi_{n_{AB}}(\overrightarrow{AX}) — \pi_{n_{BC}}(\overrightarrow{CX})\), где \(n_{AB}\) и \(n_{BC}\) — единичные нормали к \(AB\) и \(BC\). Следовательно, \( |PQ| \) есть модуль разности двух линейных функций от точки \(X\) на прямой \(AC\).

2) Введём основания высот \(H_A\) и \(H_C\) из вершин \(A\) и \(C\) на противоположные стороны \(BC\) и \(AB\). Тогда для любой точки \(X\in AC\) длина проекции \(X\) на нормаль к \(AB\) равна разности ориентированных длин \(XH_C\) и постоянной, а на нормаль к \(BC\) — разности ориентированных длин \(XH_A\) и постоянной. В частности, существует константа \(c\), не зависящая от \(X\), такая что \( |PQ| = |(XH_C) — (XH_A) + c| \). Перенося начало отсчёта вдоль прямой \(AC\), можно считать \(c=0\) и получить простую форму \( |PQ| = |XH_C — XH_A| \). Так как \(X\) движется по прямой \(AC\), величины \(XH_C\) и \(XH_A\) изменяются линейно по \(X\), следовательно, функция \(f(X)=|XH_C — XH_A|\) является модулем линейной функции и достигает минимума там, где её аргумент равен нулю.

3) Условие \(XH_C = XH_A\) означает, что точка \(X\) равноудалена от точек \(H_A\) и \(H_C\) на прямой \(AC\). Единственная такая точка на отрезке \(AC\) — середина \(K\) стороны \(AC\). Значит, именно при \(X=K\) длина \(PQ\) минимальна. При этом значение минимума выражается через расстояние между основаниями высот: так как при \(X=K\) выполняется \(KH_C = KH_A\), получаем \( |PQ|_{\min} = \frac{1}{2}\,|H_AH_C| \). Итак, точка с требуемым свойством — середина \(K\) отрезка \(AC\), а минимальное расстояние между проекциями на \(AB\) и \(BC\) равно \( \frac{1}{2}|H_AH_C| \).