ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.105 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около треугольника АВС описана окружность. Из произвольной точки M окружности проведены перпендикуляры MN и MK к прямым AB и AC соответственно. Найдите положение точки M, для которого длина отрезка NK является наибольшей.

Точки \(N\) и \(K\) — проекции точки \(M\) на прямые \(AB\) и \(AC\). Длина \(NK\) равна длине проекции хорды \(MM’\) (где \(M’\) — симметрия \(M\) относительно угла \(A\)) на направление, перпендикулярное биссектрисе угла \(A\). Максимум \(NK\) достигается, когда \(MM’\) — диаметр описанной окружности, то есть когда \(M\) лежит на концах диаметра, перпендикулярного биссектрисе угла \(A\).

Следовательно, искомое положение: \(M\) — точка окружности такая, что \(AM\) является биссектрисой дуги и \(MM’\) — диаметр; то есть \(M\) и \(M’\) — концы диаметра, перпендикулярного биссектрисе угла \(A\).

1) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника \(ABC\), и произвольную точку \(M\) на этой окружности. Определим точки \(N\) и \(K\) как основания перпендикуляров из \(M\) на прямые \(AB\) и \(AC\) соответственно: \(MN \perp AB\), \(MK \perp AC\). Тогда отрезок \(NK\) является расстоянием между двумя проекциями одной и той же точки \(M\) на две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AC\). Удобно рассмотреть ортогональное проектирование на направление, перпендикулярное биссектрисе угла \(A\). Если обозначить отражение точки \(M\) относительно биссектрисы угла \(A\) через \(M’\), то вектор \( \overrightarrow{NK} \) получается как ортогональная проекция хорды \(MM’\) на прямую, перпендикулярную биссектрисе, и длина \(NK\) равна длине этой проекции хорды \(MM’\).

2) Пусть биссектриса угла \(A\) образует с прямой \(AB\) угол \(\frac{\alpha}{2}\), где \(\alpha=\angle BAC\). Тогда при отражении \(M\) в биссектрисе получаем точку \(M’\), симметричную относительно угла \(A\), для которой выполняется равенство дуг \( \widehat{BM}=\widehat{CM’} \) и равенство углов \( \angle BAM=\angle CAM’ \). Хорда \(MM’\) всегда перпендикулярна биссектрисе, а отрезок \(NK\) есть проекция на направление, также перпендикулярное биссектрисе, следовательно \(NK\) равно длине \(MM’\). Таким образом задача сводится к максимизации длины хорды \(MM’\) при движении точки \(M\) по окружности. Максимальная хорда в окружности есть диаметр, то есть максимальное значение достигается тогда, когда \(MM’\) есть диаметр описанной окружности: \(MM’ = 2R\), где \(R\) — радиус окружности.

3) Искомое положение точки \(M\) определяется условием, что отражение \(M’\) относительно биссектрисы угла \(A\) является диаметрально противоположной точкой к \(M\). Это означает, что прямая \(MM’\) проходит через центр описанной окружности \(O\) и перпендикулярна биссектрисе угла \(A\). В этом случае \(NK=MM’=2R\) достигает максимума. Следовательно, точка \(M\) должна лежать на концах диаметра, перпендикулярного биссектрисе угла \(A\); эквивалентно, \(M\) и её отражение \(M’\) являются концами такого диаметра, а \(AM\) и \(AM’\) делят дуги \(BC\) симметрично относительно вершины \(A\).