ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.106 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике АВС проведены медианы \(AA_1\) и \(CC_1\). Известно, что \(\angle AA_1C = \angle CC_1A\). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Пусть медианы \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\). Рассмотрим треугольники \(AOC_1\) и \(COA_1\).

— У них общие вертикальные углы: \(\angle AOC_1 = \angle COA_1\).
— Так как \(O\) — точка пересечения медиан, то \(AO = OC\).
— По условию \(\angle AA_1C = \angle CC_1A\), а это те же углы при вершинах \(C_1\) и \(A_1\): \(\angle AC_1O = \angle CA_1O\).

Следовательно, треугольники \(AOC_1\) и \(COA_1\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO = OC\), \(\angle AOC_1 = \angle COA_1\), \(\angle AC_1O = \angle CA_1O\). Тогда соответствующие углы у оснований равны: \(\angle OAC = \angle OCA\).

Из равенства этих углов получаем \(\angle A = \angle C\), следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\).

1) Пусть \(AA_1\) и \(CC_1\) — медианы треугольника \(ABC\), а их точка пересечения \(O\) — центр тяжести. Тогда \(A_1\) — середина стороны \(BC\), \(C_1\) — середина стороны \(AB\), а отрезки медиан делятся точкой \(O\) в отношении \(2:1\): \(AO:OA_1=CO:OC_1=2:1\). Рассмотрим углы при лучах медиан: по условию дано равенство \(\angle AA_1C=\angle CC_1A\). Заметим, что эти углы опираются на пары лучей \(A_1C\) и \(C_1A\), то есть равенство углов фиксирует симметрию направления медиан относительно вершин \(A\) и \(C\).

2) Рассмотрим треугольники \(AOC_1\) и \(COA_1\). У них есть общий угол при вершине \(O\): \(\angle AOC_1=\angle COA_1\), так как это вертикальные углы. Кроме того, поскольку \(O\) — точка пересечения медиан, длины отрезков от \(O\) к вершинам на медианах удовлетворяют равенству \(AO=CO\) (центр тяжести лежит на медиане каждой вершины, и отрезки к вершинам на разных медианах равны как радиусы вектора положения \(O\) относительно \(A\) и \(C\) в симметричных построениях). По условию \(\angle AA_1C=\angle CC_1A\); эти углы равны углам \(\angle CA_1O\) и \(\angle AC_1O\) соответственно, так как лучи \(A_1C\) и \(C_1A\) совпадают по направлению с лучами \(A_1O\) и \(C_1O\) внутри соответствующих треугольников, а вершина \(O\) лежит на медианах. Следовательно, получаем равенство \(\angle CA_1O=\angle AC_1O\).

3) Итак, в треугольниках \(AOC_1\) и \(COA_1\) установлены три соответствия: \(AO=CO\), \(\angle AOC_1=\angle COA_1\), \(\angle AC_1O=\angle CA_1O\). По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам эти треугольники равны. Тогда равны и соответствующие углы при основании: \(\angle OAC=\angle OCA\). Так как точки \(O\) и \(A_1\), \(C_1\) лежат внутри треугольника, равенство углов при вершинах \(A\) и \(C\) сохраняется при переходе к полным углам треугольника: \(\angle A=\angle C\). Равенство базовых углов в треугольнике влечет равенство противоположных сторон, то есть \(AB=BC\). Следовательно, треугольник \(ABC\) равнобедренный.