ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.107 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На катете BC прямоугольного треугольника АВС отметили произвольную точку M. Из точки M опустили перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что \(\angle ANC = \angle AMC\).

Дано: в треугольнике проведены высоты \(AM\) и \(BN\). Доказать: \(\angle DMK=\angle DNC\) (в записи на фото: углы при основаниях высот равны).

1) Так как \(AM\perp BC\) и \(BN\perp AC\), то углы при пересечении каждой высоты с соответствующей стороной дополняют острый угол вершины до \(90^\circ\):
\(\angle DNC=90^\circ-\angle MNC\), \(\angle DMK=90^\circ-\angle ADM\).

2) В прямоугольных треугольниках у высот равны острые углы при вершине: \(\angle MNC=\angle ADM\) (это одни и те же углы при вершинах исходного треугольника).

Следовательно, \(\angle DNC=90^\circ-\angle MNC=90^\circ-\angle ADM=\angle DMK\).

Дано: в треугольнике проведены высоты \(AM\perp BC\) и \(BN\perp AC\). Требуется доказать равенство углов при основаниях этих высот: \(\angle DMK=\angle DNC\). Заметим, что каждая высота образует с соответствующей стороной прямой угол, поэтому углы при основаниях высот связаны с острыми углами исходного треугольника через дополнение до \(90^\circ\). Пусть у вершины, из которой опущена высота, острый угол равен некоторому углу треугольника; тогда угол при основании высоты на стороне равен разности между \(90^\circ\) и этим острым углом.

1) Так как \(AM\perp BC\), то угол при основании \(M\) на стороне \(BC\) равен \(90^\circ-\angle ADM\): \(\angle DMK=90^\circ-\angle ADM\). Аналогично, поскольку \(BN\perp AC\), угол при основании \(N\) на стороне \(AC\) равен \(90^\circ-\angle MNC\): \(\angle DNC=90^\circ-\angle MNC\). Эти равенства непосредственно следуют из определения высоты и факта, что сумма смежных острых углов в прямом угле даёт \(90^\circ\).

2) Углы \(\angle ADM\) и \(\angle MNC\) являются острыми углами при соответствующих вершинах исходного треугольника и равны одним и тем же углам треугольника, так как высоты не изменяют величины угла при вершине: они лишь откладывают перпендикуляр на противолежащей стороне. Следовательно, \(\angle ADM=\angle MNC\).

3) Подставляя равенство острых углов в найденные выражения для углов при основаниях высот, получаем цепочку равенств: \(\angle DNC=90^\circ-\angle MNC=90^\circ-\angle ADM=\angle DMK\). Таким образом, углы при основаниях высот равны, что и требовалось доказать.