ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.108 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольнике АВС биссектрисы \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке O, \(\angle AOC = 120^\circ\). Докажите, что \(\angle C_1BO = \angle C_1A_1O\).

В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\), значит \(O\) — инцентр: точки касательных углов \( \angle BAO\) и \( \angle ACO\) равны половинам соответствующих углов при вершинах.

Пусть \(\angle A=\alpha\), \(\angle C=\gamma\), тогда \(\angle AOC=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}=120^\circ\). Отсюда \(\frac{\alpha+\gamma}{2}=60^\circ\), то есть \(\alpha+\gamma=120^\circ\).

Рассмотрим равнобедренные треугольники с общей вершиной \(O\): \(\triangle C_1BO\) и \(\triangle C_1A_1O\). В них \(OC_1\) — биссектриса и одновременно общая сторона, а углы при \(O\) равны \(\frac{\gamma}{2}\) и \(\frac{\alpha}{2}\) соответственно. Так как \(\alpha+\gamma=120^\circ\), получаем \(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=60^\circ\), следовательно дуги (или приписанные углы) при основаниях равны, и треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle C_1BO=\angle C_1A_1O\).

1) Пусть в треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AA_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\). Тогда \(O\) — инцентр, то есть \(AO\) и \(CO\) делят соответствующие углы пополам: \(\angle BAO=\frac{\angle A}{2}\), \(\angle CAO=\frac{\angle A}{2}\), \(\angle BCO=\frac{\angle C}{2}\), \(\angle ACO=\frac{\angle C}{2}\). Обозначим \(\angle A=\alpha\) и \(\angle C=\gamma\). По известной формуле центрального угла при инцентре получаем \(\angle AOC=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}\). По условию \(\angle AOC=120^\circ\), следовательно \(180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2}=120^\circ\), откуда \(\frac{\alpha+\gamma}{2}=60^\circ\) и значит \(\alpha+\gamma=120^\circ\). Это ключевое соотношение между исходными углами при вершинах \(A\) и \(C\).

2) Рассмотрим треугольники \(\triangle C_1BO\) и \(\triangle C_1A_1O\). Заметим, что луч \(BC_1\) является биссектрисой угла \(C\), поэтому \(\angle OC_1B=\angle OC_1A=\frac{\gamma}{2}\). Аналогично, луч \(AA_1\) — биссектриса угла \(A\), откуда \(\angle OA_1A=\angle OA_1B=\frac{\alpha}{2}\). В каждом из треугольников рассмотрим угол при вершине \(O\). В \(\triangle C_1BO\) это угол между лучами \(OC_1\) и \(OB\). Заметим, что \(\angle COB=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}\), где \(\beta=\angle B\). Поскольку \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\), имеем \(\beta=180^\circ-(\alpha+\gamma)=60^\circ\). Тогда \(\angle COB=\frac{\gamma}{2}+\frac{60^\circ}{2}=\frac{\gamma}{2}+30^\circ\). Аналогично, в \(\triangle C_1A_1O\) угол при \(O\) равен углу между \(OC_1\) и \(OA_1\), то есть \(\angle C_1OA_1=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha+\gamma}{2}=60^\circ\). Эти вычисления согласуются с тем, что все лучи исходят из инцентра и образуют суммы полууглов вершин исходного треугольника.

3) Теперь сравним треугольники \(\triangle C_1BO\) и \(\triangle C_1A_1O\) по следующему плану. У них общая сторона \(OC_1\). Кроме того, \(OB\) и \(OA_1\) — внутренние биссектрисные лучи, образующие с \(OC_1\) соответствующие углы при \(O\). Мы показали, что \(\angle BO C_1=\frac{\gamma}{2}\) и \(\angle A_1OC_1=\frac{\alpha}{2}\), а сумма этих полууглов равна \(60^\circ\). Поскольку \(\beta=60^\circ\), луч \(OB\) делит углы у \(O\) так, что \(\angle C_1OB=\frac{\gamma}{2}+30^\circ\), а \(\angle BOA_1=30^\circ+\frac{\alpha}{2}\). Отметим, что в обоих треугольниках одна сторона общая \(OC_1\), вторая сторона лежит на биссектрисе соответствующей вершины исходного треугольника, а угол между этими сторонами дополняется до \(60^\circ\) ровно одинаковой добавкой \(30^\circ\). Поэтому углы при вершинах у основания \(C_1B\) и \(C_1A_1\) оказываются равными: \(\angle C_1BO=\angle C_1A_1O\).

4) Альтернативно можно сформулировать через равенство прилежащих дуг углов при \(O\). Так как \(\alpha+\gamma=120^\circ\), половины этих углов дают \(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=60^\circ\). Следовательно, лучи \(OA_1\) и \(OB\) симметричны относительно плоскости, в которой угол при \(O\) от \(OC_1\) до соответствующего луча составляется добавлением одних и тех же слагаемых \(30^\circ\) и \(\frac{\alpha}{2}\) или \(\frac{\gamma}{2}\). Это обеспечивает равенство углов, прилежащих к стороне \(OC_1\), в указанных треугольниках, то есть искомое равенство \(\angle C_1BO=\angle C_1A_1O\).

5) Итак, используя свойства инцентра \(O\) и связи полууглов, полученные из условия \(\angle AOC=120^\circ\), мы пришли к равенству соответствующих углов в треугольниках \(\triangle C_1BO\) и \(\triangle C_1A_1O\). Требуемое утверждение доказано: \(\angle C_1BO=\angle C_1A_1O\).