ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \(MNK\) на гипотенузу \(MK\) опущена высота \(NF\). Площадь треугольника \(MNF\) равна 2 см\(^2\), а площадь треугольника \(KNF\) — 32 см\(^2\). Найдите гипотенузу треугольника \(MNK\).

Точки \(A,B,C\) образуют треугольник, на стороне \(BC\) взята точка \(K\) так, что \(\angle CAK=\angle ABC\). Тогда треугольники \(ABC\) и \(AKC\) подобны (по равенству углов), откуда \(\frac{KC}{AC}=\frac{AK}{AB}=\frac{AC}{BC}\).

По данным \(BK=12\) см, \(KC=4\) см, значит \(BC=BK+KC=16\) см.

Из подобия получаем \(\frac{KC}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow \frac{4}{AC}=\frac{AC}{16}\Rightarrow AC^2=64\Rightarrow AC=8\) см.

1. Пусть в треугольнике \(ABC\) на стороне \(BC\) отмечена точка \(K\) так, что выполняется условие равенства углов \(\angle CAK=\angle ABC\). Это означает, что угол при вершине \(A\) в треугольнике \(AKC\) равен углу при вершине \(B\) в треугольнике \(ABC\). Кроме того, треугольники \(ABC\) и \(AKC\) имеют общий угол \(\angle ACB\) (он является углом при вершине \(C\) и в обоих треугольниках совпадает). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(AKC\) подобны по двум равным углам. Из подобия вытекают пропорции соответствующих сторон: \(\frac{KC}{AC}=\frac{AK}{AB}=\frac{AC}{BC}\). Здесь сторона \(KC\) треугольника \(AKC\) соответствует стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), а сторона \(AC\) треугольника \(AKC\) соответствует стороне \(BC\) треугольника \(ABC\), что и задаёт нужное соотношение.

2. По условию задано \(BK=12\) см и \(KC=4\) см. Так как точка \(K\) лежит на отрезке \(BC\), длина всей стороны \(BC\) равна сумме частей: \(BC=BK+KC=12+4=16\) см. Подставляя эти значения в пропорцию, получаем ключевое равенство из подобия: \(\frac{KC}{AC}=\frac{AC}{BC}\). Замена чисел даёт \(\frac{4}{AC}=\frac{AC}{16}\). Это равенство связывает неизвестную сторону \(AC\) с известными отрезками на стороне \(BC\) и является классическим следствием подобия, когда произведение крайних членов равно произведению средних.

3. Решим полученное уравнение. Перемножая крест-накрест, имеем \(4\cdot 16=AC\cdot AC\), то есть \(64=AC^{2}\). Переходим к извлечению квадратного корня: \(AC=\sqrt{64}=8\) см. В контексте геометрической задачи берём положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной. Таким образом, благодаря установлению подобия треугольников по двум равным углам и применению пропорции соответствующих сторон, мы строго пришли к численному значению искомой стороны: \(AC=8\) см.