ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.110 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного около этой окружности?

Сторона вписанного равностороннего треугольника: \(a_{\text{впис}}=R\sqrt{3}\), где \(R\) — радиус окружности.

Сторона описанного равностороннего треугольника: \(a_{\text{опис}}=2R\sqrt{3}\).

Отношение: \(a_{\text{впис}}:a_{\text{опис}}=R\sqrt{3}:2R\sqrt{3}=1:2.\)

Для равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса \(R\), каждая вершина лежит на окружности, а центральный угол, соответствующий стороне, равен \(60^\circ\). Хорда, соответствующая углу \(60^\circ\), имеет длину \(a_{\text{впис}}=2R\sin60^\circ\). Поскольку \(\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(a_{\text{впис}}=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}\). Это следует из общей формулы длины хорды \(c=2R\sin\frac{\theta}{2}\), применённой к дуге \(120^\circ\) или непосредственно к углу \(60^\circ\) для стороны равностороннего треугольника.

Для равностороннего треугольника, описанного около той же окружности, эта окружность является его вписанной, то есть касается всех трёх сторон. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника выражается через сторону как \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\). Отсюда сторона через \(r\) равна \(a_{\text{опис}}=\frac{6r}{\sqrt{3}}=2r\sqrt{3}\). Так как окружность одна и та же, её радиус \(R\) является радиусом описанной окружности вписанного треугольника и одновременно связан с описанным треугольником как \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) для вписанного случая и \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) для описанного случая. Учитывая, что \(r\) относится к той же окружности, и подставляя \(r=\frac{R}{2}\) для равностороннего треугольника (так как \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\) и \(r=\frac{a}{2\sqrt{3}}\)), получаем \(a_{\text{опис}}=2\cdot\frac{R}{2}\sqrt{3}=R\sqrt{3}\).

Таким образом, обе стороны совпадают по величине: \(a_{\text{впис}}=R\sqrt{3}\) и \(a_{\text{опис}}=R\sqrt{3}\), поэтому их отношение равно \(a_{\text{впис}}:a_{\text{опис}}=1:2\).