ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.111 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного около этой окружности?

Первый шестигранник вписан: его вершины на окружности радиуса \(R\), центр совпадает с центром окружности. Центральный угол \(60^\circ\), хорда-сторона равна \(a_{\text{впис}}=2R\sin 30^\circ=R\).

Второй шестигранник описан: его стороны касаются окружности радиуса \(R\). Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен \(r=\frac{\sqrt{3}}{2}a_{\text{опис}}\). При касании \(r=R\), значит \(a_{\text{опис}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Искомое отношение: \(a_{\text{впис}}:a_{\text{опис}}=R:\frac{2R}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}:2\).

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса \(R\). Все его вершины лежат на окружности, центр совпадает с центром окружности. Центральный угол, опирающийся на сторону, равен \(60^\circ\), потому что шестиугольник делит окружность на шесть равных дуг. Сторона вписанного многоугольника является хордой соответствующей дуги, и по формуле хорды имеем \(a_{\text{впис}}=2R\sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right)=2R\sin 30^\circ=R\). Это удобно запомнить и по иному известному факту: вписанный правильный шестиугольник имеет сторону, равную радиусу описанной окружности.

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около той же окружности радиуса \(R\). Окружность в этом случае является вписанной для шестиугольника, то есть касается каждой его стороны. Для любого правильного \(n\)-угольника с длиной стороны \(a\) радиус вписанной окружности выражается через апофему: \(r=R_{\text{вп}}=a\cdot\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{n}\right)\). При \(n=6\) получаем \(r=a\cdot\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right)=a\cdot\frac{1}{2}\cot 30^\circ=a\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\). Так как окружность радиуса \(R\) вписана в описанный шестиугольник, то \(r=R\), следовательно \(R=\frac{\sqrt{3}}{2}a_{\text{опис}}\), откуда \(a_{\text{опис}}=\frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Осталось составить отношение длин сторон. Подставляя найденные выражения, получаем \(a_{\text{впис}}:a_{\text{опис}}=R:\frac{2R}{\sqrt{3}}\). Сокращаем на общий множитель \(R\) и приводим к стандартному виду: \(1:\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}:2\). Следовательно, искомое отношение стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, равно \(\sqrt{3}:2\).