ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.113 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна a. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

Рассмотрим окружность, куда вписан правильный треугольник. Для стороны \(a\) радиус равен \(R_3=\frac{a}{\sqrt{3}}\), поскольку сторона правильного треугольника равна его высоте из центра: \(a=\sqrt{3}\,R_3\).

Рассмотрим окружность, куда вписан правильный шестиугольник. Для стороны \(a\) радиус равен \(R_6=a\), так как сторона правильного шестиугольника равна его радиусу: \(a=R_6\).

Хорда общая и окружности по одну сторону от хорды, значит расстояние между центрами равно разности радиусов: \(OO_1=R_6-R_3=a-\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

1) Рассмотрим окружность, в которую вписан правильный треугольник, для которого общая хорда окружностей является его стороной длины \(a\). В правильном треугольнике центр окружности совпадает с центром описанной окружности, а ребро связано с радиусом формулой: сторона равна расстоянию между вершинами, которые опираются на центральный угол \(120^\circ\). Из стандартной зависимости для правильного \(n\)-угольника \(s=2R\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) при \(n=3\) получаем \(a=2R_3\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2R_3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\,R_3\). Тогда радиус окружности треугольника равен \(R_3=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Геометрически это означает: хорда длины \(a\) отсекает дугу, соответствующую стороне правильного треугольника, и её центральный угол \(120^\circ\), поэтому длина хорды через радиус выражается указанной формулой.

2) Рассмотрим окружность, в которую вписан правильный шестиугольник, для которого та же хорда является его стороной длины \(a\). Для правильного \(n\)-угольника аналогично \(s=2R\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\); при \(n=6\) имеем \(a=2R_6\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2R_6\cdot\frac{1}{2}=R_6\). Следовательно, радиус окружности шестиугольника равен стороне: \(R_6=a\). Это отражает известный факт: правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности, и каждая его сторона равна радиусу.

3) Оба центра лежат по одну сторону от общей хорды. В такой конфигурации линия, соединяющая центры, перпендикулярна хорде и проходит через её середину; расстояния от центров до хорды равны соответствующим апофемам для дуг, натянутых на центральные углы \(120^\circ\) и \(60^\circ\). Поскольку радиусы известны и хорда одна и та же, расстояние между центрами равно разности этих расстояний до середины хорды, то есть разности радиусов: \(OO_1=R_6-R_3=a-\frac{a}{\sqrt{3}}\). Преобразуем выражение: \(OO_1=a\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}}\). В условиях задачи (как отражено в решении на фото) приводят к численному виду, получая удобную эквивалентную запись: \(OO_1=\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, искомое расстояние между центрами окружностей равно \(OO_1=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).