ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.114 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ выпуклого четырёхугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть в выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC\) пересекает отрезок, соединяющий середины сторон \(AB\) и \(CD\), в его середине. Обозначим середины \(M\) на \(AB\) и \(N\) на \(CD\), а точку \(AC\cap MN\) через \(O\), причём \(AO:OC=1:1\) по условию пересечения серединного отрезка.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). Их площади выражаются как половина произведения основания \(AC\) на соответствующие алгебраические высоты к \(AC\): \(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot h_B\) и \(S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h_D\).

Так как \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\), то векторы высот \(h_B\) и \(h_D\) относительно прямой \(AC\) складываются как удвоенные ориентированные расстояния от \(M\) и \(N\) до \(AC\). Но \(O\) — середина \(MN\), следовательно, ориентированные расстояния \(d(M,AC)\) и \(d(N,AC)\) равны по модулю и противоположны по знаку: \(d(M,AC)+d(N,AC)=0\). Значит, \(h_B+h_D=0\) и, следовательно, \(h_B=h_D\) по модулю.

Тогда \(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot h_B=\frac12\cdot AC\cdot h_D=S_{ADC}\). Следовательно, диагональ \(AC\) делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\). Обозначим середины противолежащих сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно через \(M\) и \(N\). По условию диагональ \(AC\) делит пополам отрезок \(MN\), то есть точка \(O=AC\cap MN\) такова, что \(AO:OC=1:1\) и одновременно \(OM=ON\). Рассмотрим площади треугольников, на которые диагональ \(AC\) разбивает четырёхугольник: \(S_{ABC}\) и \(S_{ADC}\). Каждая из этих площадей может быть представлена как половина произведения длины основания \(AC\) на соответствующую ориентированную высоту к прямой \(AC\): \(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot h_B\) и \(S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h_D\), где \(h_B\) и \(h_D\) — ориентированные расстояния от точек \(B\) и \(D\) до прямой \(AC\) (они берутся со знаком, зависящим от стороны относительно \(AC\)).

Свяжем высоты с серединными точками. Так как \(M\) — середина \(AB\), а \(N\) — середина \(CD\), то ориентированная высота \(h_B\) равна удвоенному ориентированному расстоянию от \(M\) до прямой \(AC\): \(h_B=2\cdot d(M,AC)\). Аналогично \(h_D=2\cdot d(N,AC)\). Это верно, потому что расстояние от середины отрезка до прямой равно среднему расстоянию его концов, а ориентированный знак сохраняет линейность. Теперь используем ключевое свойство: точка \(O\) — середина отрезка \(MN\) и лежит на \(AC\). Линейность ориентированных расстояний вдоль перпендикуляра к \(AC\) даёт \(d(M,AC)+d(N,AC)=2\cdot d(O,AC)\). Но \(O\) лежит на \(AC\), следовательно \(d(O,AC)=0\), поэтому получаем \(d(M,AC)+d(N,AC)=0\) и, значит, \(d(N,AC)=-d(M,AC)\). Отсюда сразу следует равенство по модулю и противоположность по знаку высот: \(h_D=2\cdot d(N,AC)=-2\cdot d(M,AC)=-h_B\). В терминах модулей это означает, что длины высот к \(AC\) в треугольниках \(ABC\) и \(ADC\) равны: \(|h_B|=|h_D|\), а знаки противоположны, что соответствует тому, что вершины \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\).

Подставим найденную связь в формулы площадей. Имеем \(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot h_B\) и \(S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h_D=\frac12\cdot AC\cdot(-h_B)\). Площади геометрически всегда неотрицательны, поэтому учитывается модуль высоты относительно общей базы \(AC\). Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot |h_B|\) и \(S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot |h_D|=\frac12\cdot AC\cdot |h_B|\). Получаем равенство \(S_{ABC}=S_{ADC}\). Итак, диагональ \(AC\) делит четырёхугольник \(ABCD\) на два равновеликих треугольника, что и требовалось доказать.