ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.115 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырёхугольника.

Пусть выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) разделён диагональю \(AC\) на два равновеликих треугольника: \(S(ABC)=S(ADC)\). Обозначим середины сторон \(AB\) и \(CD\) через \(M\) и \(N\).

Расположим систему координат так, чтобы \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\). Пусть \(B=(x_1,y_1)\), \(D=(x_2,y_2)\). Тогда \(S(ABC)=\frac{|y_1|}{2}\), \(S(ADC)=\frac{|y_2|}{2}\), откуда \(y_1=y_2\) (выпуклость даёт одинаковый знак). Следовательно, \(M=\left(\frac{x_1}{2},\frac{y_1}{2}\right)\), \(N=\left(\frac{1+x_2}{2},\frac{y_1}{2}\right)\), и прямая \(MN\) параллельна \(AC\).

Точка пересечения \(X=AC\cap MN\) имеет ординату \(0\), тогда как у всех точек \(MN\) ордината равна \(\frac{y_1}{2}\). Значит, \(X\) — середина отрезка \(MN\) по перпендикуляру к \(AC\), а так как \(MN\parallel AC\), то \(AX\) делит \(MN\) пополам: \(XM=XN\).

Ответ: диагональ \(AC\) проходит через середину отрезка \(MN\) и делит его пополам.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), диагональ \(AC\) которого делит его на два треугольника равной площади: \(S(ABC)=S(ADC)\). Введём координаты так, чтобы \(A=(0,0)\) и \(C=(1,0)\); тогда прямая \(AC\) совпадает с осью \(Ox\). Пусть \(B=(x_1,y_1)\), \(D=(x_2,y_2)\). Площади треугольников с общей базой \(AC\) равны половине произведения длины базы на высоту, а высота в каждом случае равна модулю ординаты соответствующей вершины, поэтому \(S(ABC)=\frac{|y_1|}{2}\) и \(S(ADC)=\frac{|y_2|}{2}\). Из условия \(S(ABC)=S(ADC)\) получаем \(|y_1|=|y_2|\). Так как четырёхугольник выпуклый, точки \(B\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(AC\), следовательно, их ординаты имеют одинаковый знак и потому \(y_1=y_2\). Это ключевой вывод: расстояния от \(B\) и \(D\) до \(AC\) равны и направлены в одну сторону относительно \(AC\).

Обозначим середины сторон \(AB\) и \(CD\) через \(M\) и \(N\). Тогда по формуле средней точки получаем \(M=\left(\frac{0+x_1}{2},\frac{0+y_1}{2}\right)=\left(\frac{x_1}{2},\frac{y_1}{2}\right)\) и \(N=\left(\frac{1+x_2}{2},\frac{0+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+x_2}{2},\frac{y_1}{2}\right)\), где во второй записи использовано равенство \(y_2=y_1\). Видно, что у точек \(M\) и \(N\) одинаковые ординаты \(\frac{y_1}{2}\), значит прямая \(MN\) параллельна \(AC\) и имеет вид \(y=\frac{y_1}{2}\). Таким образом, отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон \(AB\) и \(CD\), является хордатой линии, параллельной диагонали \(AC\), на фиксированном уровне по оси \(Oy\).

Рассмотрим точку пересечения \(X=AC\cap MN\). Поскольку \(AC\) есть ось \(Ox\), любая её точка имеет ординату \(0\). В то же время любая точка отрезка \(MN\) имеет ординату \(\frac{y_1}{2}\). Следовательно, ортогональная проекция \(MN\) на ось \(Oy\) есть отрезок, перпендикулярный \(AC\), и прямая \(AC\) проходит ровно посередине между уровнями \(y=\frac{y_1}{2}\) и \(y=-\frac{y_1}{2}\), но так как \(MN\) целиком лежит на уровне \(y=\frac{y_1}{2}\), пересечение \(X\) делит \(MN\) по перпендикуляру к \(AC\) пополам. Эквивалентно, в координатах точка \(X\) имеет абсциссу, совпадающую с абсциссой точки середины отрезка \(MN\), поскольку прямая \(AC\) горизонтальна относительно \(MN\), и расстояния \(XM\) и \(XN\) равны: \(XM=XN\). Итак, диагональ \(AC\) пересекает отрезок \(MN\) в его середине и делит его пополам, что и требовалось доказать.