ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.117 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что \(S_{BCO} = 1\) см\(^2\), \(S_{AOD} = 9\) см\(^2\), \(S_{ABCD} \le 16\) см\(^2\). Найдите площади треугольников ABO и COD.

Пусть диагонали делят четырехугольник на 4 треугольника: \(S_{ABO}=x\), \(S_{BCO}=1\), \(S_{CDO}=y\), \(S_{DAO}=9\). По свойству пересекающихся диагоналей в выпуклом четырёхугольнике произведения площадей противоположных треугольников равны: \(S_{ABO}\cdot S_{CDO}=S_{BCO}\cdot S_{DAO}\). Тогда \(x\cdot y=1\cdot 9=9\).

Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей: \(S_{ABCD}=x+1+y+9=x+y+10\). Из условия \(x+y+10\le16\Rightarrow x+y\le6\).

По неравенству между арифметическим и геометрическим средними: \(x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{9}=6\). Совместно с \(x+y\le6\) получаем \(x+y=6\) и \(xy=9\), откуда \(x=y=3\).

Ответ: \(S_{ABO}=3\) см\(^2\), \(S_{COD}=3\) см\(^2\).

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\) и разбивают его на четыре треугольника: \(ABO\), \(BCO\), \(CDO\), \(DAO\). По условию известны площади \(S_{BCO}=1\) см\(^{2}\) и \(S_{AOD}=9\) см\(^{2}\), а также ограничение на суммарную площадь \(S_{ABCD}\le16\) см\(^{2}\). Обозначим неизвестные площади \(S_{ABO}=x\) и \(S_{CDO}=y\), которые требуется найти. В невырожденном выпуклом четырёхугольнике выполняется свойство пересечения диагоналей: произведения площадей противоположных треугольников равны, так как они имеют общую высоту к одной диагонали и основания на другой диагонали пропорциональны. Отсюда получаем ключевое равенство \(S_{ABO}\cdot S_{CDO}=S_{BCO}\cdot S_{DAO}\), то есть \(x\cdot y=1\cdot 9=9\).

Теперь выразим суммарную площадь четырёхугольника как сумму площадей четырёх треугольников: \(S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{BCO}+S_{CDO}+S_{DAO}=x+1+y+9=x+y+10\). С учётом ограничения \(S_{ABCD}\le16\) получаем неравенство для суммы неизвестных площадей \(x+y+10\le16\), откуда \(x+y\le6\). Таким образом, имеем систему условий: \(x\cdot y=9\) и \(x+y\le6\). Чтобы уточнить значения \(x\) и \(y\), используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел \(x\) и \(y\): \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{x y}\). Подставляя \(\sqrt{x y}=\sqrt{9}=3\), получаем \(\frac{x+y}{2}\ge3\), то есть \(x+y\ge6\). Совместив это с ранее полученным \(x+y\le6\), заключаем, что сумма обязана быть равной границе: \(x+y=6\).

Когда одновременно выполняются \(x+y=6\) и \(x y=9\), это ровно случай равенства в неравенстве между средними, который достигается только при \(x=y\). Действительно, из \(x=y\) сразу следует \(2x=6\) и \(x^{2}=9\), то есть \(x=3\). Следовательно, обе искомые площади равны: \(S_{ABO}=3\) см\(^{2}\) и \(S_{COD}=3\) см\(^{2}\). Проверка: сумма четырёх треугольников даёт \(3+1+3+9=16\) см\(^{2}\), что удовлетворяет условию \(S_{ABCD}\le16\) см\(^{2}\); произведения противоположных площадей совпадают \(3\cdot3=1\cdot9=9\), значит найденные значения корректны.