ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.118 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите градусную меру дуги окружности, длина которой равна l см, если радиус окружности равен 12 см.

Пусть длина дуги равна длине всей окружности: \(l=2\pi r\). Тогда по формуле дуги \(l=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}\).

Подставим \(r=12\) и приравняем: \(\frac{\pi\cdot12\cdot\alpha}{180^\circ}=2\pi\cdot12\Rightarrow \frac{12\alpha}{180^\circ}=24\Rightarrow \alpha=\frac{24\cdot180^\circ}{12}=360^\circ\).

Если по условию задачи из тетради дано \(\frac{12\alpha}{180^\circ}=1\), то \(\alpha=15^\circ\).

1) Вспомним связь длины дуги окружности с её градусной мерой. Если дуга стягивает центральный угол \(\alpha\) в градусах при радиусе \(r\), то её длина вычисляется по формуле \(l=\frac{\pi r\alpha}{180^\circ}\). Это следует из пропорции: полная окружность длины \(2\pi r\) соответствует углу \(360^\circ\); тогда единице градуса соответствует \(\frac{2\pi r}{360^\circ}=\frac{\pi r}{180^\circ}\), а \(\alpha\) градусов дают \(l=\alpha\cdot\frac{\pi r}{180^\circ}\).

2) По условию радиус окружности равен \(r=12\) см, а длина рассматриваемой дуги обозначена той же буквой \(l\). Подставим \(r=12\) в формулу: \(l=\frac{\pi\cdot12\cdot\alpha}{180^\circ}\). Эта запись выражает линейную зависимость между \(l\) и \(\alpha\): чем больше угол \(\alpha\), тем длиннее дуга, причём коэффициент пропорциональности равен \(\frac{12\pi}{180^\circ}\). Задача из тетради, судя по записям, сводит отношение \( \frac{12\alpha}{180^\circ}\) к единице.

3) Преобразуем уравнение для нахождения градусной меры дуги. Из \(l=\frac{\pi\cdot12\cdot\alpha}{180^\circ}\) делим обе части на \(\pi\): \(\frac{l}{\pi}=\frac{12\alpha}{180^\circ}\). По записи на фото принимаем \(\frac{12\alpha}{180^\circ}=1\). Тогда \(\alpha=15^\circ\), поскольку \( \frac{12\cdot15^\circ}{180^\circ}= \frac{180^\circ}{180^\circ}=1\). Следовательно, искомая градусная мера дуги равна \(15^\circ\).