ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 22.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(D\) так, что \(\angle ABD=\angle ACB\). Найдите отрезок \(AD\), если \(AB=6\) см, \(AC=18\) см.

По условию \(\angle ABD=\angle ACB\), следовательно, треугольники \(ABD\) и \(ABC\) подобны.

Из подобия: \(\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\). Берём равенство \(\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\): \(\frac{AD}{6}=\frac{6}{18}\).

Отсюда \(AD=\frac{6\cdot 6}{18}=2\) см.

1) По условию на стороне \(AC\) отмечена точка \(D\) так, что \(\angle ABD=\angle ACB\). Это означает, что в треугольнике \(ABC\) луч \(BD\) образует с вершины \(B\) такой же угол с \(BA\), как угол при вершине \(C\) с \(CA\). Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(ABC\) имеют по одному равному углу при вершине \(B\) и общую вершину \(A\) с соответствующими сторонами на одних и тех же прямых \(AB\) и \(AC\). Кроме того, угол \(A\) у них общий: \(\angle BAD=\angle BAC\). Значит, треугольники \(ABD\) и \(ABC\) подобны по двум углам: \( \triangle ABD \sim \triangle ABC\).

2) Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон. Сторонам \(AB\) и \(AC\) большого треугольника соответствуют, соответственно, \(AB\) и \(AD\) малого, а сторонам \(BC\) и \(BD\) также соответствуют друг другу. Поэтому верна пропорция \( \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{BC} \). Для нахождения \(AD\) достаточно взять первую равенство из этой цепочки: \( \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC} \). Подставим известные длины \(AB=6\) см и \(AC=18\) см: получаем \( \frac{AD}{6}=\frac{6}{18} \).

3) Преобразуем правую часть, сокращая дробь: \( \frac{6}{18}=\frac{1}{3} \). Тогда из равенства \( \frac{AD}{6}=\frac{1}{3} \) умножим обе части на \(6\): получим \( AD=6\cdot \frac{1}{3}= \frac{6}{3}=2 \) см. Итак, искомый отрезок равен \(AD=2\) см. Эта величина согласуется с подобием: поскольку треугольник \(ABD\) в \(3\) раза меньше по масштабу, чем \(ABC\) относительно вершины \(A\), соответствующая сторона на луче \(AC\) также уменьшается в \(3\) раза, то есть \(AD=\frac{AC}{3}=2\) см.